Question

我在攻读研究生算法课时遇到了这个问题：

假设您要在p个城市中放置n塔，其中每个城市都是1到n之间的整数。放置塔楼的成本是从塔楼到其他城市的预期距离。问题是提供一种有效的算法来放置所有p塔，同时最大限度地降低成本。

这里有一种贪婪的方法：https://www.mssanz.org.au/modsim2015/J11/dzator.pdf，但它看起来效率不高。

到目前为止，我已尝试使用动态编程来解决问题。例如，如果有1个塔楼和5个城市，我会通过每个城市作为塔楼的潜在候选人，并计算将塔楼放置在那里的成本。然后，我选择最小化成本的城市。

但是，当有2座或更多塔楼时，我无法跟进。我试图将城市分成不同的，连续的子集，但我似乎无法从中取得进展 - 即我似乎无法识别子问题。

任何指针？

编辑：

塔的成本完全如问题所述：它是从塔的位置到城市的距离。然而，放置塔楼将影响其他塔楼的放置方式，因为特定城市的人们将前往最近的塔楼。

Answer 1

根据您的链接判断，您要做的是将p塔放置在n个不同大小的均匀间隔的城市中，其中i城市的大小为，s(i)。您希望最小化每个人到最近的塔的平均距离。或者，等效地，最小化从人到塔的距离的总和。

我说错了吗？

如果是这样，子问题是将k塔放在两个标记i和j之间（这些标记位于城市之间或不同之处），以便距离总和从人到塔是最低限度的。作为进一步的限制，k是2的幂，否则标记离开地图的右边缘，k是n的二进制表示的尾端

对于每个子问题，如果1 < k，则信息是分割成较小子问题的最佳位置，否则它是k = 1的塔的放置位置。（记住，如果k是2的幂，我们会均匀地拆分塔，否则，如果我们的范围偏离右边缘，k是O(log(p) * n^2)，则分成2的幂和表示的其余部分不是2的力量。）

需要考虑<link rel="stylesheet" href="https://maxcdn.bootstrapcdn.com/bootstrap/3.3.7/css/bootstrap.min.css"> <script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.1/jquery.min.js"></script> <script src="https://maxcdn.bootstrapcdn.com/bootstrap/3.3.7/js/bootstrap.min.js"></script> <div class="container"> <div class="wrapper wrapper-content animated fadeInRight"> <div class="row border-bottom white-bg dashboard-header"> <div class="col-xs-3 col-md-3"> <h4>Dummy Name</h4> <small>Dummy Street</small><br> <small>Dummy Apt, Some City, Some State</small><br> <small>United States</small><br> </div> <div class="col-xs-3 col-md-3"> <h5>123-456-7890</h5> </div> <div class="col-xs-3 col-md-3"> <h5>some_name@somecompany.com</h5> </div> <div class="col-xs-3 col-md-3 text-right"> <h2>Active</h2><br> <button type="button" class="btn btn-w-m btn-primary">Primary</button> </div> </div> </div> </div>个子问题，这应该完全适合动态编程，可以自上而下或自下而上实现。

Answer 2

一次增加一个塔并遍历所有城市。让g(i)成为将塔放置在i位置的费用 - 根据您的帖子，此功能取决于塔楼和城市的位置，后者已经修复。我将把这个计算的细节留给读者。

让m(t,i)成为将t塔放到索引i的费用。然后一般情况是：

m(t, i) = min(
  // Place a tower at i
  g(i) + m(t - 1, i - 1),

  // Do not place a tower at i
  m(t, i - 1)
)

正如我们所看到的，在自下而上的方法中，m中的两个查找都已经被记录，因为我们正在迭代增加数量的塔，每次从第一个城市到最后一个城市位置

更新

由于这个问题现在有了额外的信息，“放置一座塔将影响其他塔楼的放置方式，因为某个城市的人们将前往他们最近的塔楼”，这是一个O(t * n^2)公式。让f(t, i)代表放置在t的{{1}}塔，i代表c[i]城市，i代表d(c, t)距离/成本函数城市c到t的塔楼。然后，从左到右迭代：

f(t, i) =
  if t is the leftmost tower:
    // cities left of t
    sum d(c[0..i], i)

  otherwise:
    min(
      // cities right of and closer to (t - 1)
      sum d(c[l..m], l) +

      // cities left of and closer to t
      sum d(c[m+1..i], i)

      if t is the rightmost tower, also add:
        // cities right of t
        sum d(c[i..last c], i) +

      where l is the location of the neighbouring tower
      to the left and m is the middle city, closer to l
    )

    for all l

  for all i

算法：计算塔位置以最小化预期距离

2 个答案:

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