3个嵌套循环的运行时间

Question

我很担心这个算法的运行时间是O(n^2)还是O(n^3)。该计划如下：

int count=0;

for (int i =0; i<n; i++){
    for (int j =i+1; j<n; j++){
        for (int k =j+1; k<n; k++){
            count++;
        }
    }
}

System.out.print("count: " + count);

我使用了n=7的示例。这给了我35的结果（计数）。我知道i和j循环一起具有高斯和的运行时间，即1+2+3...n=O(n^2)。我试着通过做一些计算来弄清楚所有3个循环的完整运行时间。 我使用了由

给出的高斯和公式

我发现制作高斯总和并加上它们会给我正确的结果。（从i=2开始直到i=n-1）我得到的公式是：

我如何删除总和标志并获得常规＆＃34;公式＆＃34;？

感谢您的时间！

Answer 1

From Wikipedia，强调我的：

  

Big O表示法是一种数学符号，用于描述当参数趋向特定值或无穷大时函数的限制行为。

考虑当 n 接近无穷大时会发生什么：你正在考虑 n - 2 元素的总和。当 n 接近无穷大时， -2 将成为一个无用的小术语，因此你可以忽略*它并乘以 n 。 / p>

（*你没有正确地忽略它，但是存在一个常量 k ，这样你的外环/求和运行时间将少于 kn 次，这意味着它仍然属于 O（n）。）

按照类似的逻辑，你要求的表达式属于 O（n²），因为尽管 i ，你总结的术语将严格小于kn²表示 k 的某些常数值。 i 可能在2和 n - 1 之间变化，但这对（n - i）（（n - i）+ 1）的方式没有任何影响/ 趋势，因为 n 接近无穷大;对于 k 的某个常数值，它仍然小于kn²，因此该函数仍在 O（n²）中。

因为您正在对 O（n²）订单的 O（n）值求和，所以您的函数在 O（n³）

Answer 2

虽然Jeff Bowman的回答是正确的，但我觉得能够提出确切的公式很有意思并且很有用。你最终得到的公式是正确的，但你提到你要“删除总和符号”，有效地简化了公式。
在下文中，sum_{i=a}^{b}[y(i)]表示从y(i)到i的{​​{1}} a的总和。 从您的公式开始：

b

您可以清楚地看到count = sum_{i=2}^{n-1}[(n-i)*(n-i+1) / 2] 2*count = sum_{i=2}^{n-1}[(n-i)*(n-i+1)] 2*count = sum_{i=2}^{n-1}[(n-i)^2 + (n-i)] 2*count = sum_{i=2}^{n-1}[(n-i)^2] + sum_{i=2}^{n-1}[(n-i)] 2*count = sum_{i=1}^{n-2}[i^2] + sum_{i=1}^{n-2}[i] 2*count = (n-2)(n-1)(2*(n-2)+1)/6 + (n-2)(n-1)/2 12*count = (n-2)(n-1)(2*n-4+1) + (n-2)(n-1)*3 count = (n-2)(n-1)(2*n)/12 count = (n-2)(n-1)(n)/6 位于count但不在O(n^3)。

Answer 3

Big-Omega是一个下限，所以说明你的算法有一个Ω（n ² ）就足够了，因为 i ， j 和 k 都运行绑定到 n 的某个值。