嵌套while循环的运行时间

Question

Function f(n)
    s = 0
    i = 1
    while i < 7n^1/2 do
        j = i
        while j > 5 do
            s = s + i -j
            j = j -2
        end
        i = 5i
    end
    return s
end f

我正在尝试使用上面的代码解决大theta的运行时间。我一直在寻找一些东西来帮助我举个例子，但一切都是循环或只有一个循环。你会怎么用嵌套的while循环来解决这个问题？

Answer 1

第一个循环将进行7 * sqrt(n)次迭代。指数1/2与数字的sqrt()相同。

第二个循环将运行m - 2次，因为i的前两个值分别为1和5，而不是通过比较。

i的增量为5i。

以n = 16：

为例

i = 1, n = 16;
while( i < 7 * 4; i *= 5 )
    //Do something

First value of i = 1. It runs 1 time. Inside loop will run 0 times.
Second value of i = 5. It runs 2 times. Inside loop will run 0 times.
Third value of i = 25. It runs 3 times. Inside loop will run 10 times.
Fourth value of i = 125. It stops.

外迭代是n次迭代，而内部迭代是m次迭代，得到O（7sqrt（n）*（m - 2））

IMO，很复杂。

Answer 2

让我们将其分解为两个关键点：

• i从1开始，并自动乘以5，直到它大于或等于7 sqrt(n)。这是以对数步数呈指数增长。因此，我们可以将代码更改为以下等效项：

  m = floor(log(5, 7n^(1/2)))
  k = 0
  while k < m do
     j = 5^k
     // ... inner loop ...
  end
  

• 对于外循环的每次迭代，j从i开始，以2为步长递减，直到它小于或等于5。请注意，在外循环i = 1和第二个i = 5的第一次执行中，内循环在第三次迭代之前不会执行。循环限制意味着如果j为奇数，则k的最终值为7，如果为偶数则为6（您可以使用笔和纸进行检查）。

结合上述步骤，我们得出：