DP点收集器 - 动态编程

Question

我们在动态编程任务中得到了这个问题：

  

在新的电脑游戏＆＃34;疯狂的DP点收集器＆＃34;，播放器   引导标有n的{​​{1}}个房间的头像。游戏持续1,...,n   时间单位。玩家可以跳过一个房间，或者在一个房间内花费1，   2或4个时间单位。每个房间T和每个1<=i<=n   j，我们会得到值{1,2,4}，表示有多少分   玩家可以在C(i,j)分钟内在i房间内收集。众所周知   适用于所有j

i

     

  
1. 玩家可以在游戏中收集的最大分数是多少？
  
2. 为了实现这个目标，玩家应该在每个房间花多少时间单位？
  

我在考虑一个二维数组，其中行代表房间，列代表时间单位。一个子问题是＆＃34;我可以在T-x时间内收集的最佳点数是多少？＃/ p> 经过长时间的脑力激荡，我陷入了困境。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

我假设了一些事情 - 如果我错了，请纠正我：

1. 玩家需要按此顺序穿过房间，即使之前跳过8，她也不能从房间9跳回到房间8;因此，four rooms的有效路径可以是

   中的任何一个
   • 1-2-3-4
   • 1-3
   • 2-4

2. 没有惩罚，只有奖励，C(i,j)>=0所有i,j

一个更简单的子问题是“在t个时间步之后我可以制作的最高积分是多少，以房间号k结束？”。让我们调用这个子问题F(k,t)的解决方案。我们是怎么来到这里的？

好吧，如果我们在k房间，那么我们必须花费1,2或4个时间单位坐在这里。我们的“最佳前任”就是k' < k我们去过dt = 1, 2或4步骤前的一个房间：



由于我们可以跳过任意数量的房间，我们可以从任何总费用为0的房间开始：



一旦我们获得了表F的所有值，我们选择最终的房间



其中F(K,T)是问题（1）的答案。对于问题（2）的答案，我们通过遵循我们存储的后退指针来重建最佳路径，同时评估最佳前辈的最大化。我省略了这个相当技术性的步骤，但是如果你想在这里详细说明，请告诉我。

我们需要评估n*T个子问题，表格F中的每个字词都可以通过考虑最多n个可能的前任房间来构建过去（1,2和4步前），所以操作的总数将与3*T*n^2成比例（我认为你可以通过存储一些来实现摆脱3的实现中间最大值）。