Matlab：对于偶数实函数，FFT复数结果，IFFT实际结果

Question

我正在测试Matlab中FFT和IFFT函数的有效性。

我可以将这些函数的输出与一个众所周知的数学事实进行比较：偶数，实数函数的傅里叶变换（如以0为中心的高斯），是另一个偶数，实数函数（FFT [real，0-居中高斯] =真实，0居中高斯）。这个事实应该适用于FFT和IFFT。

首先我制作网格：

nx = 256; % grid total pixel count
X = 500; % grid size (um)
dx = X/nx; %  grid spacing (um)
x = linspace(-nx/2,nx/2-1,nx)*dx; % x grid (um)

df = 1/(nx*dx); % spectral grid spacing (1/um)
f = linspace(-nx/2,nx/2-1,nx)*df; % f grid (1/um)

我制作了高斯：

A = 1; % magnitude (arbitrary units) 
x_fwhm = 7; % Full width at half maximum diameter (um)

x0 = x_fwhm/sqrt(2*log(2)); % 1/e^2 radius (um)
y = A*exp(-2*x.^2./(x0)^2); % Gaussian (arbitrary units) 

并应用傅立叶变换，使用FFT：

yFFT = fftshift(fft(fftshift(y))); 

或者，使用IFFT：

yIFFT = fftshift(ifft(fftshift(y))); 

绘制结果：

IFFT做得很好：yIFFT纯粹是真正的高斯。然而，FFT产生一个复数：存在一个非常小的虚部。这很好，因为在傅里叶变换算法中应该预期会出现错误，并且无论如何它都可以忽略不计。令我困惑的是 为什么IFFT中没有错误 ？ FFT和IFFT算法有很大不同吗？

***注意：fftshift和ifftshift在这里是等价的，因为我的数组有偶数个元素。

Answer 1

处理实值时域信号是一种相当普遍的现象。因此ifft function具有对频域中出现的相应对称性的内置处理，如＆＃34;算法＆＃34;文档部分：

  

ifft函数测试Y中的向量是否是共轭对称的。当i ^th 元素满足v时，向量v(i) = conj(v([1,end:-1:2]))是共轭对称的。如果Y中的向量是共轭对称的，则逆变换计算更快，输出是真实的。

换句话说，ifft构造yIFFT的虚部正好为0，因为它检测到您的输入具有共轭对称性。

另一方面，即使时域信号相对不太常见，Mathworks也不认为有必要在fft function中执行类似的测试。也就是说，您仍然可以通过使用ifft函数计算FFT来利用共轭对称性测试

% compute fft(x,[],dim) using ifft:
size(x,dim) * conj(ifft(conj(x),[],dim))

Answer 2

您的代码中存在错误：

yFFT = fftshift(fft(fftshift(y)));

应该阅读

yFFT = fftshift(fft(ifftshift(y)));

ifftshift功能将原点从中间移动到最左边的bin。 fftshift将原点从最左边的bin移动到中间。对于偶数大小的奇数大小的数组，这两个操作类似但不相同。请注意，您的逆变换会遇到相同的问题，但没有出现错误，如SleuthEye所述。 [别介意，我觉得我有点困惑，你的情况应该没有区别。]

此外，

linspace(-nx/2,nx/2-1,nx)

会更好地写成

-nx/2 : nx/2-1

鉴于nx是偶数。它更短，但由于计算事物的方式， 也会有更小的数值误差（可能没有区别，但我尽量避免linspace当步长为1时。