如果R（x）是随机函数，则R（x）|| R（x'）也是一个随机函数？

Question

如果R（x）是随机函数，则R（x）|| R（x＆＃39;）也是一个随机函数？

R（x）在真正意义上是随机的。

x是一个超过0和1的位串。

X＆＃39;是x的补充。

||是简单的连接

编辑：

该R（x）是从函数族{0,1} ^ k - >中随机选择的。 {0,1）^ķ。一旦选择了R（x），就会得到修复。因此相同的输入将生成相同的输出。 R（x）的长度是固定的（k，比如32）

G（x）= R（x）||器R（x＆＃39）

Answer 1

假设R()是标准种子PRNG函数，如果R(x)是随机的，那么R(x')也是随机的，因为它只是PRNG的替代种子。此外，R(x) + R(x')同样是随机的，因为它只是两个随机字符串的串联。

然而，有可能以x的知识攻击y = R(x) + R(x')，虽然它不会降低字符串的随机性，但如果将此随机函数用于任何字符串，可能会打开弱点与安全相关的目的。

Answer 2

看起来像是：

考虑p与任何给定R(x) || R(x')相等的概率y，让y = y_1 || y_2。然后p等于R(x) = y_1概率为R(x') = y_2的概率，因为这两个案例是独立的。我们发现它不依赖于y，因此对于每个y都是一样的。

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编辑：
但是，如果R(x)的值唯一确定R(x')的值，则生成的函数不是随机的！因为R(x) || R(x')的值不能是任意的：值的前半部分决定了后半部分，所以值不能是任意的。这意味着某些值的概率为0。

感谢@adamax指出这一点。

Answer 3

是的，如果R（x）在真正意义上被定义为RANDOM，那么输出会随着x的微小变化而变化很大。这意味着R（x）与R（x'）的输出完全不同且无关。此外，集中在两个随机输出上也会产生随机输出。

Answer 4

我给出了一个随机函数的定义存在根本缺陷。

应该定义为： 随机函数{0,1} ^ k1 - ＆gt; {0,1} ^ k2是来自{0,1} ^ k1 - >的所有可能函数的族的随机选择的函数。 {0,1} ^ k2

现在通过这个定义，为了证明任何函数是随机的，我们必须反过来证明它从所有这些函数的族中随机选择。

在我们的情况下假设R（x）：{0,1} ^ k - > {0,1} ^ k是随机函数，R（x）从函数族中随机选择。

证明G（x）= R（x）|| R（x'）：{0,1} ^ k - > {0,1} ^ 2k是一个随机函数，我们需要确定G（x）确实从{0,1} ^ k - >上的函数族中随机选择。 {0,1} ^ 2k，假设R（x）是随机函数。然而，事实并非如此，因为小的计数器示例将显示G（x）从函数族的较小子集中选择。

因此即使R（x）是

，G（x）也不是随机的