模拟双变量Pareto分布

Question

我正在寻找一个可以生成双变量Pareto分布的包/代码，当两个随机变量相关时（并且可以由用户指定相关性）。我很感激你的帮助！

Answer 1

我无法找到任何现有的R套餐，但发现您的问题很有趣;所以我想向您介绍如何使用bivariate type I Pareto distribution从inverse transform sampling进行抽样。

理论

I型双变量Pareto分布的联合pdf由

给出

这里的目标是

1. 从边缘分布 f（x2）中抽取 x2 的样本，然后
2. 从条件分布 f（x1 | x2）中给出 x2 x1 的样本。

边际和条件分布由（参见例如[Mardia, Annals of Mathematical Statistics 33, 1008 (1962)]）

给出



我们可以使用逆变换采样绘制样本，这需要边际和条件分布的累积分布函数。这很容易计算，我们得到了



x1 和 x2 的样本由

给出



其中 u 是区间[0,1]中标准均匀分布的随机数。

R实施

1. 我们使用逆变换采样定义了两个函数，用于从边际和条件分布中对 x1 和 x2 的值进行采样，如上所述。

   rpareto_inv <- function(n, theta, a) {
       u <- runif(n, min = 0, max = 1);
       return(theta / (u ^ (1 / a)));
   }
   
   
   rpareto_cond_inv <- function(x2, theta1, theta2, a) {
     u <- runif(length(x2), min = 0, max = 1);
     return(theta1 + theta1 / theta2 * x2 * (1 / (u ^ (1 / (a + 1))) - 1));
   }
   

2. 我们为采样和分配参数选择了一些值：

   n <- 10^5;     # Number of samples
   theta1 <- 5;   # Location parameter 1
   theta2 <- 2;   # Location parameter 2
   a <- 3;        # Shape parameter
   

3. 现在我们可以绘制样本

   set.seed(2017);
   x2 <- rpareto_inv(n, theta = theta2, a = a);
   x1 <- rpareto_cond_inv(x2, theta1, theta2, a);
   

4. 我们可以显示二维密度图，并将一些样本汇总统计数据与理论（人口）值进行比较。

   require(ggplot2);
   df <- cbind.data.frame(x1 = x1, x2 = x2);
   ggplot(df, aes(x1, x2)) +
       geom_density_2d() +
       xlim(theta1, 1.5 * theta1) +
       ylim(theta2, 1.5 * theta2);
   

   

   metrics <- cbind.data.frame(
       obsrv = c(mean(df$x1), mean(df$x2), cor(df$x1, df$x2), cov(df$x1, df$x2)),
       theor = c(a * theta1 / (a - 1), a * theta2 / (a - 1), 1/a, theta1 * theta2 / ((a - 1)^2 * (a - 2))));
   rownames(metrics) <- c("Mean(x1)", "Mean(x2)", "Correlation", "Covariance")
   #                obsrv     theor
   #Mean(x1)    7.4947124 7.5000000
   #Mean(x2)    3.0029318 3.0000000
   #Correlation 0.3429634 0.3333333
   #Covariance  2.3376545 2.5000000
   

   你可以看到协议是好的。另请注意， x1 和 x2 之间的相关性由比例参数 a 表征。因此，如果要模拟具有特定相关性 r 的双变量Pareto分布的数据，则只需将shape参数设置为 1 / r 即可。有关分发和其他摘要统计信息的更多详细信息，请参阅[Mardia, Annals of Mathematical Statistics 33, 1008 (1962)]。

最后，您还可以使用简单的接受拒绝采样方法，但我想这比我在此处显示的逆变换采样方法慢很多。