产品的偏导数与符号数量的变量之和

Question

我希望SymPy能够评估如下表达式：

我如何定义符号和表达式，以便SymPy可以很好地处理它？我想将N保留为一个符号，即不要制作x的实际有限列表。我尝试了IndexedBase和Sum / Product的各种组合，但没有让它正常工作。

Answer 1

理想情况下就是这样：

x = IndexedBase("x")
i, j, N = symbols("i j N")
expr = Sum(Product(exp(-x[j]**2), (j, 1, N)).diff(x[i]), (i, 1, N))

到目前为止，这是未评估的，expr是

Sum(Derivative(Product(exp(-x[j]**2), (j, 1, N)), x[i]), (i, 1, N)) 

方法doit可用于评估它。不幸的是，产品的差异化还没有完成：expr.doit()返回

N*Derivative(Product(exp(-x[j]**2), (j, 1, N)), x[i])

将产品重写为差异化之前的总和有助于：

expr = Sum(Product(exp(-x[j]**2), (j, 1, N)).rewrite(Sum).diff(x[i]), (i, 1, N))
expr.doit()

返回

Sum(Piecewise((-2*exp(Sum(log(exp(-x[j]**2)), (j, 1, N)))*x[i], (1 <= i) & (i <= N)), (0, True)), (i, 1, N))

这是差异化的正确结果。遗憾的是，我们在Piecewise中有这个无关紧要的条件，而log(exp(...))应该已经简化了。 SymPy并没有从外部总和的上下文推断(1 <= i) & (i <= N)是真的，并且它也犹豫是否简化log(exp思考x[j]可能很复杂。所以我采用Piecewise的外科手术，用第一块替换它，并强行扩展原木：

e = expr.doit()
p = next(iter(e.atoms(Piecewise)))
e = expand_log(e.xreplace({p: p.args[0][0]}), force=True)

现在e是

Sum(-2*exp(Sum(-x[j]**2, (j, 1, N)))*x[i], (i, 1, N))

不幸的是，exp(Sum(..))无法再次成为产品。