理解Scipy卷积

Question

我试图理解Scipy提供的离散卷积与人们将获得的分析结果之间的差异。我的问题是输入信号的时间轴和响应函数如何与离散卷积输出的时间轴相关？

为了尝试回答这个问题，我考虑了一个带有分析结果的例子。我的输入信号是高斯信号，我的响应函数是带阶跃函数的指数衰减。这两个信号的卷积的分析结果是修正的高斯（https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentially_modified_Gaussian_distribution）。

Scipy提供三种卷积模式，＆＃34;相同＆＃34;，＆＃34;完整＆＃34;，＆＃34;有效＆＃34;。我应用了＆＃34;相同＆＃34;和＃34;完整＆＃34;卷积并根据下面的分析解决方案绘制结果。

你可以看到它们非常匹配。

要注意的一个重要特征是＆＃34; full＆＃34;离散卷积，得到的时域远大于输入信号时域（见https://www.researchgate.net/post/How_can_I_get_the_convolution_of_two_signals_in_time_domain_by_just_having_the_values_of_amplitude_and_time_using_Matlab），但对于＆＃34;相同＆＃34;离散卷积时域是相同的，输入和响应域（我在本例中选择了相同的域）。

当我观察到更改我的响应函数的填充域时，我的混淆就出现了，这改变了卷积函数的结果。这意味着当我设置t_response = np.linspace(-5,10,1000)而不是t_response = np.linspace(-10,10,1000)时，我得到了不同的结果，如下所示

正如您所看到的，解决方案略有改变。我的问题是输入信号的时间轴和响应函数如何与输出的时间轴相关？我附上了我在下面使用的代码，我们将不胜感激。

import numpy as np
import matplotlib as mpl
from scipy.special import erf
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import convolve as convolve
params = {'axes.labelsize': 30,'axes.titlesize':30, 'font.size': 30, 'legend.fontsize': 30, 'xtick.labelsize': 30, 'ytick.labelsize': 30}
mpl.rcParams.update(params)

def Gaussian(t,A,mu,sigma):
    return A/np.sqrt(2*np.pi*sigma**2)*np.exp(-(t-mu)**2/(2.*sigma**2))
def Decay(t,tau,t0):
    ''' Decay expoential and step function '''
    return 1./tau*np.exp(-t/tau) * 0.5*(np.sign(t-t0)+1.0)
def ModifiedGaussian(t,A,mu,sigma,tau):
        ''' Modified Gaussian function, meaning the result of convolving a gaussian with an expoential decay that starts at t=0'''
        x = 1./(2.*tau) * np.exp(.5*(sigma/tau)**2) * np.exp(- (t-mu)/tau)
        s = A*x*( 1. + erf(   (t-mu-sigma**2/tau)/np.sqrt(2*sigma**2)   ) )
        return s

### Input signal, response function, analytic solution
A,mu,sigma,tau,t0 = 1,0,2/2.344,2,0  # Choose some parameters for decay and gaussian
t = np.linspace(-10,10,1000)         # Time domain of signal
t_response = np.linspace(-5,10,1000)# Time domain of response function

### Populate input, response, and analyitic results
s = Gaussian(t,A,mu,sigma)
r = Decay(t_response,tau,t0)
m = ModifiedGaussian(t,A,mu,sigma,tau)

### Convolve
m_full = convolve(s,r,mode='full')
m_same = convolve(s,r,mode='same')
# m_valid = convolve(s,r,mode='valid')
### Define time of convolved data
t_full = np.linspace(t[0]+t_response[0],t[-1]+t_response[-1],len(m_full))
t_same = t
# t_valid = t

### Normalize the discrete convolutions
m_full /= np.trapz(m_full,x=t_full)
m_same /= np.trapz(m_same,x=t_same)
# m_valid /= np.trapz(m_valid,x=t_valid)

### Plot the input, repsonse function, and analytic result
f1,(ax1,ax2,ax3) = plt.subplots(nrows=3,ncols=1,num='Analytic')
ax1.plot(t,s,label='Input'),ax1.set_xlabel('Time'),ax1.set_ylabel('Signal'),ax1.legend()
ax2.plot(t_response,r,label='Response'),ax2.set_xlabel('Time'),ax2.set_ylabel('Signal'),ax2.legend()
ax3.plot(t_response,m,label='Output'),ax3.set_xlabel('Time'),ax3.set_ylabel('Signal'),ax3.legend()

### Plot the discrete  convolution agains analytic
f2,ax4 = plt.subplots(nrows=1)
ax4.scatter(t_same[::2],m_same[::2],label='Discrete Convolution (Same)')
ax4.scatter(t_full[::2],m_full[::2],label='Discrete Convolution (Full)',facecolors='none',edgecolors='k')
# ax4.scatter(t_valid[::2],m_valid[::2],label='Discrete Convolution (Valid)',facecolors='none',edgecolors='r')
ax4.plot(t,m,label='Analytic Solution'),ax4.set_xlabel('Time'),ax4.set_ylabel('Signal'),ax4.legend()
plt.show()

Answer 1

问题的症结在于，在第一种情况下，您的信号具有相同的采样率，而在第二种情况下，它们没有。

我觉得在频域中更容易想到这一点，其中卷积是乘法。当您使用相同的时间轴np.linspace(-10, 10, 1000)创建信号和滤波器时，它们现在具有相同的采样率。对每个阵列应用傅里叶变换，得到的阵列为信号和滤波器提供相同频率的功率。因此，您可以直接将这些数组的相应元素相乘。

但是当你创建一个时间轴为np.linspace(-10, 10, 1000)的信号和一个时间轴为np.linspace(-5, 10, 1000)的滤波器时，这已不再适用。应用傅里叶变换并乘以相应的元素不再正确，因为相应元素处的频率不相同。

让我们用你的例子来具体化。 信号（np.fft.fftfreq(1000, np.diff(t).mean())[1]）的变换的第一个元素（即s）的频率约为0.05 Hz。但对于过滤器（r），第一个元素的频率约为0.066 Hz。因此，将这两个元素相乘会使两个不同频率的功率相乘。 （这种微妙之处就是为什么你经常看到信号处理示例首先定义采样率，然后根据它创建时间数组，信号和滤波器。）

您可以通过创建一个在[-5, 10)感兴趣的时间范围内扩展的滤镜来验证这是否正确，但采样率与原始信号相同。所以使用：

t = np.linspace(-10, 10, 1000)
t_response = t[t > -5.0]

生成信号并在不同的时间范围内进行滤波，但采样率相同，因此卷积应该是正确的。这也意味着您需要修改每个数组的绘制方式。代码应该是：

ax4.scatter(t_response[::2], m_same[125:-125:2], label='Same') # Conv extends beyond by ((N - M) / 2) == 250 / 2 == 125 on each side
ax4.scatter(t_full[::2], m_full[::2], label='Full')
ax4.scatter(t_response, m, label='Analytic solution')

这将生成下面的图表，其中分析，完整和相同的卷积匹配良好。