未定向非加权图中的最大顶点对数

Question

给定具有任何类型连接的无向加权图，即它可以包含1到几个有或没有单个节点的组件，每个节点可以有0到多个连接，允许循环（但是没有从节点到自身的循环）

我需要找到最大量的顶点对，假设每个顶点只能使用一次，例如。如果图表有节点1,2,3而节点3连接到节点1和2，则答案是1（1-3或2-3）。

我正在考虑以下方法：

1. 删除所有单个节点。
2. 找到边缘连接的节点边缘数量最少的节点边缘数量最多（如果有多个 - 取其中任何一个），从图中计算并删除这对节点。
3. 在图表连接节点时重复步骤2.

我的问题是：

1. 它是否为任何情况提供最大数量的对？我是 担心一些极端，比如与某些人有关的周期 单个或多个路径等

2. 有没有更快更正确的算法？

   我可以使用java或python，但伪代码或算法描述完全没问题。

Answer 1

即使在无周期图的情况下，也不能保证您的方法提供最大数量的顶点对。例如，在下图中，您的方法是选择边（B，C）。在那个不幸的选择之后，没有更多的顶点对可供选择，因此你最终会得到一个大小为1的解决方案。显然，最优解包含两个顶点对，因此你的方法不是最优的。

你要解决的问题是最大匹配问题（不要与Maximal Matching Problem混淆，这是很容易解决的）：

  

找到边S的最大子集，以便S中没有顶点出现在多个边上。

The Blossom Algorithm在O(EV^2)中解决了这个问题。

算法的工作方式并不简单，它引入了非平凡的概念（如契约匹配，森林扩展和开花）以建立最佳匹配。如果您只是想在不完全理解其复杂性的情况下使用该算法，您可以在线找到它的即用型实现（例如this Python implementation）。