所有对最短路径长度的无向加权稀疏图

Question

找到无向加权稀疏图的所有对最短路径长度的最佳算法是什么？具体而言，权重是节点之间的距离（因此是正的）。请注意，我只需要路径长度（即不是路径本身）。我的图表是稀疏的，因此它存储为邻接列表。

我找到了Dijkstra，Floyd-Warshall，Johnson等，但它们似乎都没有达到我的目的。在Dijkstra的情况下，您在所有顶点上运行单一源版本，Floyd-Warshall用于密集图形，而Johnson用于定向。

我特意在C ++中寻找实现。

Answer 1

Johnson's algorithm似乎最适合稀疏图（如果| V |＆gt; | E |它归结为O（V ^ 2logV），而不是O（V ^ 3）和FW）。然而，由于Johnson的算法花费了第一步使权重非负（你不需要），你可以只运行你正确指出的第二步，这实际上只是来自每个节点的Dijkstra。这应该只需要按照here, on the last slide所述的O（VElogV）。我不确定我能证明它是最好的解决方案，但是有一个更好的解决方案（用于寻找非负权重的最短路径） - 我希望Johnsons算法在重写权重后使用它。

它在有向图上工作的事实不应该打扰你 - 你可以简单地通过转换每个无向边缘并使用2个有向边来回（使用简单的O（E）时间）将无向图转换为有向图。 。那是 - 除非你有空间限制。

Answer 2

由于它是一个无向加权稀疏图，它与道路网非常相似，所以我不认为（根据经验）有比Dijkstra更好的算法。看看双向dijkstra，如果你有足够的RAM，你可以缓存每个节点的最短路径树（SPT），然后在点i的SPT和点j的SPT之间进行“匹配”，其中i！=学家

Answer 3

我还没有测试过，但是从2013年开始，这篇论文宣称击败Dijkstra的因子为47：

Urakov A. R., Timeryaev T. V.: ALL-PAIRS SHORTEST PATHS ALGORITHMFOR HIGH-DIMENSIONAL SPARSE GRAPHS：

  

与Dijkstra算法相比，所提出的算法加速了APSP的求解速度平均快47倍。对于每个和所有测试图，算法比Dijkstra算法更快（最小加速速度快34倍）。在测试期间，顶点度数增加到最大值17.这意味着顶点移除的复杂性在反汇编期间仅略有增加。