Question

我只是想知道是否有可能在Idris，Agda，Coq和类似的教堂编码的Nat类型上获得归纳。请注意，这与在CoC上做这个问题是一个不同的问题（已知这是不可能的），因为我们对这些问题有更多的表达能力（例如，我们能够提取Sigma的第二个元素）。

这是关于Idris的一个糟糕的证明草图（有很多语法问题）：

CN : Type
CN = (t : Type) -> t -> (t -> t) -> t

CS : CN -> CN
CS n t z s = s (n t z s)

CZ : CN
CZ t z s = z

ind :
  (p : CN -> Type) ->
  (z : p CZ) ->
  (s : (n : CN) -> p n -> p (CS n)) ->
  (n : CN) ->
  p n

ind p z s n =
  let base_case  = the (x : CN ** p x) (CZ ** z) 
      step_case  = the ((x : CN ** p x) -> (y : CN ** p y)) (\ (n ** pf) => (CS n ** s n pf))
      result     = the (x : CN ** p x) (n (x : CN ** p x) base_case step_case)
      fst_result = fst result
      snd_result = snd result
      fst_is_n   = the (fst_result = n) ?fst_is_n
  in  ?wat

我通过构建从CZ ** z一直到CS (CS ... CZ) ** s (s ... z)的Sigma类型来实现这一目标。问题是，虽然我知道它的第一个元素将等于n，但我不确定如何证明它。

Answer 1

这是一个related question我问过同伦类型理论。我在这里也有点深入，所以这一切都带着一点点盐。

我已证明CN is isomorphic to Nat iff the free theorm for CN holds。此外，众所周知there are no free theorems under the law of excluded middle（在HoTT中）。即使用LEM，您可以定义foo : CN foo T z s = if T is Bool then not z else z，例如

ind

这不是一个适当的教会，并且不会被归纳原则所涵盖。因为排除的中间和HoTT与你所询问的类型理论是一致的（据我所知），因此不会有char str[128] char str[512] char str[2048]的证明。

Answer 2

已知不可证明，因为存在结构演算的模型，其中自然数的不可预测编码不是初始的（即不满足归纳）。它确实遵循Phil Wadler很久以前所展示的关系参数。因此，将Wadler与内部关系参数相结合，ala Moulin和Bernardy可以做到这一点。

Answer 3

我认为没有正式的证据证明这是不可能的，但一般都认为它无法完成。参见例如this paper by Aaron Stump的介绍。

是否有可能为教会编码的纳特导出归纳？

3 个答案: