Pollard Rho对某些数字不起作用吗？

Question

我正在尝试基于我在维基百科上找到的伪代码来实现Pollard Rho，但它似乎不适用于数字4,8和25，我不知道为什么。

这是我的代码：

    long long x = initXY;
    long long y = initXY;
    long long d = 1;

    while (d == 1) {
        x = polynomialModN(x, n);
        y = polynomialModN(polynomialModN(y, n), n);

        d = gcd(labs(x - y), n);
    }
    if (d == n)
        return getFactor(n, initXY + 1);

    return d;

这是我的多项式函数：

long long polynomialModN(long long x, long long n) {
    return (x * x + 1) % n;
}

这是来自维基百科的示例伪代码：

x ← 2; y ← 2; d ← 1
while d = 1:
    x ← g(x)
    y ← g(g(y))
    d ← gcd(|x - y|, n)
if d = n: 
    return failure
else:
    return d

唯一区别：我没有返回失败，而是尝试不同的初始化变量，因为维基百科也注意到了这一点：

  

这里x和y对应于x i {\ displaystyle x_ {i}} x_ {i}和x j   关于核心理念的部分中的{\ displaystyle x_ {j}} x_ {j}。注意   即使n是，该算法也可能无法找到非平凡因子   综合。在这种情况下，可以使用a再次尝试该方法   起始值不是2或不同的g（x）{\ displaystyle   g（x）} g（x）。

Pollard-Rho对某些数字不起作用吗？它们的特点是什么？或者我做错了什么？

Answer 1

Pollard Rho对偶数不起作用。如果你有一个偶数，首先删除所有因子2，然后应用Pollard Rho找出奇数因子。

Pollard Rho正确地考虑因素25，但它同时发现两个因子为5，因此它返回25的因子。这是正确的，但没有用。所以Pollard Rho不会找到任何力量的因素（方形，立方体等）。

虽然我没有运行它，你的Pollard Rho功能看起来还不错。维基百科改变起点的建议可能有效，但通常不会。维基百科也建议，改变随机函数 g 会更好。最简单的方法是增加加数;而不是 x ²+ 1，使用 x ²+ c ，其中 c 最初为1并增加到2 ，3，...每次失败后。

Answer 2

在这里，因为x可以等于n-1，所以您的polynomialModN函数中的乘积将溢出。