是否存在将项分区为等价类的子二次算法？

Question

我正在寻找一种算法。输入是项目列表x和这些项目的等价关系R，其在O（1）时间内进行评估。输出是x到等价类的分区。

检查所有对的R(x[i], x[j])的直接算法在O（N ^ 2）中运行。我想知道一般情况下是否有可能做得更好。

我可以使用O（Nα（N））时间内的Union-Find跟踪等价类，因此这不是障碍。我认为我需要的是一种检查对子集的策略。

Answer 1

当然可以做得更好：m类的 O（Nm）是非常可能的。设cls [m] [*]是一个2D数组项，我们将其分为m个类（第二个下标是每个类的变量索引）。

new_class = 0
for item in all_items
    found = false
    for cls_idx in (0:new_class-1)
        if R(cls[cls_idx][0], item)   // if item is in this class, add it
            found = true
            cls[cls_idx].add(item)

    if not found            // start a new class
        cls[new_class] = item
        new_class += 1

您触摸每个项目一次。对于每个项目，您将与不超过m类“founder”元素（每个类的第一个元素）进行比较。复杂性取决于m与N的关系。例如，如果m是常量（类的数量限制），那么这是 O（N）。