Question

换句话说，给定一组n个正整数A和一个阈值B，我想找到最小的C，以便：

C > B
C = A[1] * k[1] + A[2] * k[2] + ... + A[n] * k[n]，k[i]是整数＆gt; = 0

作为A = { 6, 11, 16 }的示例，我们可以获得的值为{ 0, 6, 11, 12, 16, 17, 18, 22, 23, 24, 27, 28, 29, 30, 32 ... }，因此如果B = 14则C为16，{{1} } =＆gt; B = 22，C = 23 =＆gt; B = 18

这个问题受到了这些限制：C = 22 2 < n < 5000和0 < A[i] < 50000（这就是我被困的原因）。此外，您必须计算大小为1 < B < 10^9的数组B和数组C（但这可能无关紧要）。并且算法应该在C ++中以0.3秒的速度运行。

这里描述的算法解决了它，但速度不够快：https://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-7-coin-change/
我计算表直到B + Amin，因为< 1000
这是算法（在伪C ++中）：

Amin * k <= B <= Amin * ( k + 1 ) <= B + Amin

此算法的复杂度为int n, A[n], B; int Amin; // smallest number from A // table[i] will tell us if it is possible or not to obtain the number i bool table[B + Amin]; table[0] = true; for( int i = 0; i < n; ++i ) { int x = A[i]; // current number / denomination for( int j = x; j <= B + Amin; ++j ) if( table[j - x] ) table[j] = true; } // now we can do something like this: int result = B + 1; while( !table[result] ) ++result;，我正在寻找与O(n*B)无关的内容（或者可能有B或O(log(B))）

注意：如果我们提出第一个要求O(sqrt(B))，那么问题不会改变（只需向B添加+1），我们可以这样问：如果我们有特定的硬币或纸币（无限的并且想要与他们一起购买东西，那么我们可以支付的金额是多少，以便收银员必须给予最小的改变。

我怀疑的事情可能有所帮助：
https://en.wikipedia.org/wiki/Coin_problem
如果最大公约数C >= B，则可以使用( x, y ) = 1和xy − x − y获得高于x的任何内容。

https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_Euclidean_algorithm

https://en.wikipedia.org/wiki/Subset_sum_problem

编辑：添加了示例和备注。

Answer 1

我认为你不能比O（n * B）更好，因为49999和49998的Frobenius数字（高于这个数字所有数量都可以使用给定的面额建造）是2499750005比10 ^大很多9，您需要至少为某些输入计算最佳值。如果gcd（A）> 1然后Frobenius数字不存在，但可以通过将所有A和B（向下舍入）除以gcd（A）并将你得到的C乘以gcd（A）来得到最终结果来阻止这种情况。

您的伪代码仍有很大的改进空间。您可以查看所有面额几乎为B + Amin的时间，并将表中的值设置为true多次。

标准实现看起来像这样：

sort(A);
table[0] = true;
for (int i = A[0]; i <= B + A[0]; i++)
    for (int j = 0; j < n && A[j] <= i; j++)
        if (table[i - A[j]]) {
            table[i] = true;
            break;
        }

这已经好一点了（请注意休息时间）。我把它称为向后实现，因为你回顾表中的所有位置，看看你是否能找到一个与给定面额之一有差异的值。您还可以为表中设置为true的连续值的数量引入计数器（当您将表中的值设置为true时增加计数器，如果无法构建值则重置计数器，如果counter =则返回B + 1 = A [0] - 1）。

也许你甚至可以通过正向实现获得更好的结果，因为表格可能非常稀疏，这里的表格值为false，而不是面额：

table[0] = true;
for (int i = 0; i <= B + Amin; i++)
    if (table[i])
        for (j = 0; j < n; j++)
            if (i + A[j] <= B + Amin)
                table[i + A[j]] = true;

仅使用超过阈值的指定面额的硬币即可获得的最小金额

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