硬币改变问题

Question

鉴于一组面额和所需金额，我必须找到赚取该金额的最小硬币数量，也是每种面额的硬币数量

请帮忙!!

Answer 1

确定获得该总和所需的最小硬币数量的伪代码是：

Procedure coinChange(coins, total):
n := coins.length
dp[n][total + 1]
for i from 0 to n
    dp[i][0] := 0
end for
for i from 1 to (total + 1)
    dp[0][i] := i
end for
for i from 1 to n
    for j from 1 to (total + 1)
        if coins[i] > j                 //if the denomination is greater than total
            dp[i][j] := dp[i-1][j] 
        else                           //if the denomination is less than or equal to total
            dp[i][j] := min(dp[i-1][j], dp[i][j-coins[i]])
        end if
    end for
end for
Return dp[n-1][total]

找出所需的面额：

Procedure printChange(coins, dp, total):
i := coins.length - 1
j := total
min := dp[i][j]
while j is not equal to 0
    if dp[i-1][j] is equal to min          //if the value came from the top we didn't choose current coin
        i := i - 1
    else
        Print(coins[i])
        j := j - coins[i]
    end if
end while

如果要在打印coins[i]后打印每种面额的数量，则需要打印dp[j]和dp[j - coins[i]]的差异。其余代码将是相同的。

此解决方案的完整描述曾在SO Docs中找到，但现在已移至此处。

硬币改变问题

获得总金额的最小数量

鉴于不同面额和总数的硬币，如果我们使用最少数量的硬币，我们需要合并多少硬币来获得总额？假设我们有coins = {1, 5, 6, 8}和total = 11，我们可以使用 2 硬币获得总数{5, 6}。这确实是 11 所需的最小硬币数量。我们还假设有无限量的硬币供应。我们将使用动态编程来解决这个问题。

我们将使用2D数组 dp [n] [total + 1] ，其中 n 是我们拥有的不同硬币面额的数量。对于我们的示例，我们需要 dp [4] [12] 。这里 dp [i] [j] 将表示获得 j 所需的最小硬币数量，如果我们有来自币[0] 的硬币到币[i] 。例如，如果我们有币[0] 和币[1] ， dp [1] [2] 会存储，最小数量是多少我们可以用来做 2 的硬币。让我们开始吧：

首先，对于 0 列，可以通过不取任何硬币来使 0 。因此， 0 列的所有值都将为 0 。对于 dp [0] [1] ，我们问自己是否只有 1 硬币面额，即币[0] = 1 ，获得 1 所需的最低硬币数量是多少？答案是 1 。对于 dp [0] [2] ，如果我们只有 1 ，那么获得 2 所需的最小硬币数是多少。答案是 2 。同样 dp [0] [3] = 3 ， dp [0] [4] = 4 等等上。这里要提一点的是，如果我们没有一个面额硬币 1 ，可能会出现一些情况，使用 1 <无法实现总计/ strong>仅限硬币。为简单起见，我们在示例中采用 1 。第一次迭代后，我们的 dp 数组将如下所示：

+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ (denom)| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11| +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ (1) | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11| +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ (5) | 1 | 0 | | | | | | | | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ (6) | 2 | 0 | | | | | | | | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ (8) | 3 | 0 | | | | | | | | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+

继续，对于 dp [1] [1] ，我们问自己是否有硬币[0] = 1 和币[1] = 5 ，获得 1 所需的最低硬币数量是多少？由于币[1] 大于我们当前的总数，因此不会影响我们的计算。我们需要排除币[5] 并仅使用币[0] 获取 1 。该值存储在 dp [0] [1] 中。所以我们从顶部获取价值。我们的第一个公式是：

if coins[i] > j dp[i][j] := dp[i-1][j]

在 dp [1] [5] 中我们的总数 5 之前，这种情况才会成立，对于这种情况，我们可以 5 有两种方式： - 我们采用 5 种硬币[0] ，存储在 dp [0] [5] （从顶部）。 - 我们采用 1 硬币[1] 的面额和（ 5 - 5 ）= 0 < / strong> 硬币的面额[0] 。

我们将选择这两者中的最小值。所以 dp [1] [5] = min（ dp [0] [5] ， 1 + dp [1] [ 0] ）= 1 。为什么我们提到 0 硬币[0] 的面额，这将在我们的下一个位置显而易见。

对于 dp [1] [6] ，我们可以通过两种方式使 6 ： - 我们采用 6 的币[0] 面额，存储在顶部。 - 我们可以采用 1 5 的面额，我们需要 6 - 5 = 1 得到总数。使用面额 1 和 5 的硬币获得 1 的最小数量存储在 dp [1] [1]中，可以写成 dp [i] [j-coins [i]] ，其中 i = 1 。这就是我们以这种方式写出之前价值的原因。

我们将采取这两种方式中的最低限度。所以我们的第二个公式将是：

if coins[i] >= j dp[i][j] := min(dp[i-1][j], dp[i][j-coins[i]])

使用这两个公式，我们可以填满整个表格。我们的最终结果将是：

+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ (denom)| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11| +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ (1) | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11| +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ (5) | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 2 | 3 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ (6) | 2 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 2 | 2 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ (8) | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+

我们要求的结果将存储在 dp [3] [11] 。程序将是：

Procedure coinChange(coins, total): n := coins.length dp[n][total + 1] for i from 0 to n dp[i][0] := 0 end for for i from 1 to (total + 1) dp[0][i] := i end for for i from 1 to n for j from 1 to (total + 1) if coins[i] > j dp[i][j] := dp[i-1][j] else dp[i][j] := min(dp[i-1][j], dp[i][j-coins[i]]) end if end for end for Return dp[n-1][total]

此算法的运行时复杂度为：O（n * total）其中 n 是硬币的面额数。

要打印所需的硬币，我们需要检查： - 如果值来自顶部，则不包括当前硬币。 - 如果值来自左侧，则包含当前硬币。

算法将是：

Procedure printChange(coins, dp, total): i := coins.length - 1 j := total min := dp[i][j] while j is not equal to 0 if dp[i-1][j] is equal to min i := i - 1 else Print(coins[i]) j := j - coins[i] end if end while

对于我们的示例，方向将是：

值 6 ， 5 。

Answer 2

代码中有3种错别字：

第一：

if coins[i] >= j 
    dp[i][j] := min(dp[i-1][j], dp[i][j-coins[i]])

这应该是：

 if coins[i] > j <-- HERE
        dp[i][j] := min(dp[i-1][j], dp[i][j-coins[i]])

second：同样在前面的代码中，min的第二部分缺失+ 1 因此正确的代码应为

if coins[i] > j
        dp[i][j] := min(dp[i-1][j], 1 + dp[i][j-coins[i]]) <-- HERE

第三名：

while j is not equal to 0
    if dp[i-1][j] is equal to min
        i := i - 1
    else
        Print(coins[i])
        j := j - coins[I] 
      // <---- HERE
    end if
end while

在这里，我们应该将最小值重新分配给新的单元格，因此正确的代码应为：

while j is not equal to 0
    if dp[i-1][j] is equal to min
        i := i - 1
    else
        Print(coins[i])
        j := j - coins[I]
        min = dp[I][j]    
    end if
end while

非常感谢您的解决方案。

给定金额和面额的最小硬币数量

2 个答案:

硬币改变问题

获得总金额的最小数量