Question

我在Coq中查询了归纳定义的关系eq。考虑Coq中eq的以下定义：

Inductive eq (A : Type) (x : A) : A -> Prop :=  eq_refl : x = x

这是一个归纳定义的关系，就像le（<=）一样。因此，我应该能够对这种类型的任何证据进行案例分析。但是，当我尝试证明以下结果时，我无法成功。

Lemma true_num: forall m :nat, forall x y: m=m, x=y.
  Proof. intros. destruct x.

(// Error: Abstracting over the terms "m" and "x" leads to a term
fun (m0 : nat) (x0 : m0 = m0) => x0 = y
which is ill-typed.
Reason is: Illegal application: 
The term "@eq" of type "forall A : Type, A -> A -> Prop"
cannot be applied to the terms
 "m0 = m0" : "Prop"
 "x0" : "m0 = m0"
 "y" : "m = m"
The 3rd term has type "m = m" which should be coercible to 
"m0 = m0". )

我无法解码此错误。

m=m的唯一证据应该是@eq_refl nat m，因为eq_refl是唯一的构造函数。因此，应该能够通过案例分析来证明x和y的平等。

这种推理有什么问题？

Answer 1

错误是由destruct的工作方式引起的，回想一下该策略试图建立一个匹配语句，并且为了做到这一点，它有一些启发式方法可以将依赖假设置于上下文中。

特别是，在这种情况下，它试图抽象变量m，它是eq中y : m = m归纳的索引;但y未被置于上下文中，因此错误为m != m0 [m0为抽象的m]。您可以通过执行“不太智能”的匹配来解决该问题，这不会修改m：

refine (match x with | @eq_refl _ _ => _ end).

但通常，最好的解决方案是将错误假设纳入范围：

revert y; destruct x.

另一方面，为了证明你的目标，简单的模式匹配是不够的，正如其他优秀答案所指出的那样。我解决像你这样的目标的首选实用方法是使用库：

From mathcomp Require Import all_ssreflect.

Lemma true_num (m : nat) (x y : m = m) : x = y.
Proof. exact: eq_irrelevance. Qed.

在这种情况下，nat类型的正确边条件由图书馆的机器自动推断。

Answer 2

m = m的唯一证据应该是@eq_refl nat m，因为eq_refl是唯一的构造函数

没有。你的定理恰好是正确的，因为你在讨论nat的平等，但是如果用nat替换Type并替换{{{}}，那么你的推理也同样（或很差）。带有nat的1}}使得该定理无法生成。

问题在于，通过反射性证明，系列是自由生成的。因此，由于Coq中的所有内容都以正确的方式尊重相等（这就是我有点模糊），以证明一个族中所有相等证明的属性（即Type的所有证据都是一些固定的x = y和用于所有 x），它足以证明生成器的属性，反射性证明。但是，一旦你修复了两个端点，可以这么说，你就不再拥有这个属性了。换句话说，y的归纳原则实际上是eq的归纳原则，而不是{ y | x = y }。同样，向量的归纳原则（长度索引列表）实际上是x = y的归纳原则。

要解码错误消息，尝试手动应用{ n & Vector.t A n }的归纳原则可能会有所帮助。归纳原则指出：给定类型eq，术语A和属性x : A，以证明P : forall y : A, x = y -> Prop任何给定的P y e和任何证据{ {1}}，只需证明y : A即可。（要了解为什么这有意义，请考虑非依赖版本：给定类型e : x = y，术语P x eq_refl和属性A，适用于任何x : A和任何证据P : A -> Prop，要证明y : A，就足以证明e : x = y。）

如果您尝试手动应用此功能，您会发现当您尝试引入第二个相等证明时，无法构建类型良好的函数P y。

有一篇优秀的博客文章在此更深入地解释了这一点：http://math.andrej.com/2013/08/28/the-elements-of-an-inductive-type/

关于Coq中平等类型证据的案例分析

2 个答案: