点在n维上的分布

Question

如何分配点如图A

图B的matlab代码：

N = 30;   % number of points
r = 0.5; % r = radius 
d = 50;  % dimension
C_point = 0; % center point
figure, clf
C = ones(1, d) * C_point;
C_rep = repmat( C,N,1);
X = randn(N,d); 
s2 = sum(X.^2,2) ;
radius = r * (rand(N,1).^(1/d));  
X = X.*repmat(radius./sqrt(s2),1,d) + C_rep; 

%% Plot 2D
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x = r*cos(t) + C(1);
y = r*sin(t) + C(2);    
plot(x,y,'b')
hold on
plot(C(1),C(2),'b.', 'MarkerSize', 10) % center point
hold on  
plot(X(:,1), X(:,2),'r.','markersize',10); 
axis equal;rotate3d off; rotate3d on;drawnow;shg; 
hold on
ax = axis;

Source of the code

我应该改变成无花果。甲

Answer 1

OP的代码计算在d维框内均匀分布的点，将它们投影到d维球体上，然后对半径进行采样以将它们移动到d维球内。这是完美的，除了当投射到球体上时盒子内的点不会在该球体上形成均匀分布。相反，如果您发现以高斯分布分布的随机点，则可以保证均匀的角度分布。

在d维度中具有高斯分布的第一个计算点（我在这里完成对OP代码的最小更改）：

N = 1000;   % number of points
r = 0.5; % r = radius 
d = 3;  % dimension
C_point = 0; % center point
C = ones(1,d) * C_point;
C_rep = repmat(C,N,1);
X = randn(N,d);

请注意，我使用的是randn，而不是rand。 randn创建高斯分布。

接下来，我们对矢量进行标准化，使点移动到球体：

nX = sqrt(sum(X.^2,2));
X = X./repmat(nX,1,d);

这些点是均匀分布的，您可以通过scatter3(X(:,1),X(:,2),X(:,3)); axis equal验证并转动显示（2D渲染并不公平）。这就是我设置d=3以及N=1000的原因。我希望能够绘制点并看到很多点。

接下来，我们像您一样计算到原点的随机距离，并针对维度进行更正：

radius = r * (rand(N,1).^(1/d));
X = X.*repmat(radius,1,d) + C_rep;

X现在统一分布在球中。同样，scatter3(X(:,1),X(:,2),X(:,3)); axis equal显示了这一点。

但是，如果您设置d=50，然后仅绘制数据的两个维度，则不会看到填充圆圈的数据。你也不会看到统一的分布。这是因为你将50-D球投射到2维，这根本不起作用。您要么必须信任数学，要么必须切片数据：

figure, hold on
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x = r*cos(t) + C(1);
y = r*sin(t) + C(2);    
plot(x,y,'b')
plot(C(1),C(2),'b.', 'MarkerSize', 10) % center point
axis equal

I = all(abs(X(:,3:d))<0.1,2);
plot(X(I,1), X(I,2),'r.','markersize',10); 

I那里的索引点在垂直于前两个维度的维度上靠近原点。同样，使用d=50，您将获得非常少的积分，因此您需要将N设置得非常大！要查看与上述情况相同的点密度，对于您添加的每个维度，您需要将N乘以10.因此对于d=5，您有N=1000*10*10=1e5，对于d=50，您需要N=1e50。当然，这完全不可能计算。