Question

问题

古斯菲尔德描述了用于构造后缀树here的Ukkonen算法，但我很难将他的帐户与给定in jogojapan's SO answer的演示合成，因此，挣扎从Gusfield的描述中得出一个有效的实现。

特别是，我无法将jogojapan描述的主动点实现与Gusfield对Ukkonen算法后缀扩展规则的描述进行整合。

简而言之，我的问题是：Gusfield中的B（beta）＆后缀扩展规则的定义是否与jogojapan的回答中的活跃点相对应？

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据我所知，活动点指向树中下一个节点插入的位置，这对应于插入后缀，只要它创建一个以叶子结尾的新分支。

在使用他的＆＃34; Trick 3＆＃34;中描述的全局索引将Gusfield描述为后缀扩展规则1应用于每个现有叶子后，活动点似乎开始起作用。到目前为止，这似乎与jogojapan的答案一致。

然而，在应用规则1之后应用规则2或规则3时，Gusfield的文本开始逃避我.Gusfield概述了＆＃34;高级算法＆＃34;如下：

Construct tree I
For *i* from 1 to *m* - 1 do:
Begin {phase *i* + 1}
  For *j* from 1 to *i* + 1
    Begin {extension *j*}
    Find the end of the path from the root labeled S[*j*..*i*] in the current tree and, if needed, extend that path by adding character S(*i* + 1), thus assuming that string S[*j*..*i*+1] is in the tree.
    End;
End;

从这个帐户开始，我想知道在扩展 j = i + 1中会发生什么。如上所述，for循环会一直运行到这个值 j ，但循环体仅指定 j = * i之前的行为。换句话说，似乎继续使用最终扩展的算法将导致某种缓冲区溢出或越界错误。

Gusfield对后缀扩展规则的定义似乎遇到了同样的问题。具体来说，他写道（B代替希腊语测试版）：

设S [ j .. i ] = B是S [1 .. i ]的后缀。在扩展 j 中，当＆gt;算法在当前树中找到B的结尾时，它扩展B以确保＆gt;后缀BS（ i + 1）是在树上。

规则1 在当前树中，路径B以叶子结束。也就是说，从标记为B的根开始的路径>延伸到某个叶边缘的末端。要更新＆gt;树，字符S（ i + 1）将添加到该边缘标签的末尾。

规则2 字符串B末尾没有路径以字符S（ i + 1）开始，＆gt;但至少有一条带标记的路径从结束B继续。    在这种情况下，创建从B mus结束开始的新叶边缘，并用字符S（ i + 1）标记。如果B在边缘内结束，则还必须在那里创建新节点。新边缘结束时的引线＆gt;给出数字 j 。

规则3 字符串B末尾的某些路径以字符S（ i +＆gt; 1）开头。在这种情况下，字符串BS（ i + 1）已经在当前树中，因此＆gt;（记住在隐式后缀树中，后缀的结尾需要不是＆gt;明确标记）我们什么都不做。

同样，似乎省略了扩展 j = i + 1 i + 1的相位。这会对所写规则的应用产生问题，因为它们都依赖于评估B，根据其定义，它不能包括最终扩展而不会产生越界错误：即，如果 j = i + 1且B = S [ j .. i ]，然后B = S [ i + 1 .. i ]，这是不可能的。

我试过假设B =＆＃34;＆＃34; （空字符串）在这种情况下，匹配节点是根节点，但这会产生与活动点指定的插入点冲突的插入点。原因似乎是，鉴于所述的规则和我对 j = i + 1的明显被忽视的情况的假设，B只能指向任何实时实现中的根节点，假设指定的＆＃34;技巧＆＃34;跟着。

我的理由如下：

根据定义，后缀树中有 n 后缀，表示长度为 n 的字符串（根据Wikipedia）。 Ukkonen的算法包含 n 阶段，输入字符串中每个字符一个。因此，每个阶段必须添加一个后缀（尽管规则和技巧允许将添加内容推迟到后期阶段）。
为每个阶段 i 执行 i 扩展，从1到 n （即 i <的总和/ em>从1到 n ）。因此，存在（基本上）比相位更多的扩展，因此存在后缀。由此可见，后缀扩展名不等于后缀插入。

通过应用规则1，无法插入，因为此规则仅使用全局索引跟踪的终端字符更新现有的叶边。

因此，在1.和3之后，根据规则2或3执行所有后缀插入。但每个阶段只能发生一次后缀插入，尽管有< em> i 扩展，因此每个阶段只能插入一个扩展。因此，第i + 1阶段的第一个i扩展根据规则1发生。
现在，如果规则1执行阶段 i + 1的第一个 i 扩展，从而耗尽所有B = [ j]的情况 .. i ]，规则2或规则3只剩下一个扩展。但是，通过检查从末尾开始的路径决定应用哪一个扩展但是，如上所述，这是不可能的，在这种情况下将B的末尾假定为根。这样做的结果是来自B的所有插入都必须来自root ，但在规则2中明确规定节点可以从边缘插入。

如果这是正确的，那么Gusfield规则指定的插入点与jogojapan概述的活动点实现所指定的插入点之间存在直接冲突，这样前者可能导致许多后缀被忽略树的。

我的推理是错误的还是我遗漏了文中的内容？是否有可能综合这些方法？

注意：我还没有读过古斯菲尔德的书本，并且只引用了上面引用的pdf，所以我可能会使用过时的文本版本。在任何情况下，我都尝试检查errata，但没有发现与本章有关的内容。

另外，我使用这个visualization tool快速测试一些论文以排除某些可能性。

Ukkonen的算法：＆＃34;活跃点＆＃34;的兼容性与Gusfield一起实施

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