在某些CAS（计算机代数系统）中定义特定的多项式环

Question

我有兴趣在某些CAS（Singular，GAP，Sage等）中定义以下多项式quotient ring：

R = GF(256)[x] / (x^4 + 1)

具体地，R是度数最多为3的所有多项式的集合，其系数属于GF（256）。两个例子包括：

p(x) = {03}x^3 + {01}x^2 + {01}x + {02}
q(x) = {0B}x^3 + {0D}x^2 + {09}x + {0E}

加法和乘法定义为每环定律。在这里，我提到它们的重点：

• 添加：相应的系数是XOR-ed（GF（256）中的加法则）：

  p(x) + q(x) = {08}x^3 + {0C}x^2 + {08}x + {0C}
  

• 乘法：多项式是多重的（系数在GF（256）中相加并相乘）。结果以模x / 4 + 1：

  计算

  p(x) * q(x) = ({03}*{0B}x^6 + ... + {02}*{0E}) mod (x^4 + 1)
              = ({03}*{0B}x^6 + ... + {02}*{0E}) mod (x^4 + 1)
              = ({1D}x^6 + {1C}x^5 + {1D}x^4 + {00}x^3 + {1D}x^2 + {1C}x + {1C}) mod (x^4 + 1)
              = {01}
  

  

请告诉我如何在您选择的CAS中定义R = GF(256)[x] / (x^4 + 1)，并说明如何在p（x）和q（x）之间实现上述加法和乘法。