我广泛使用了朱莉娅的线性方程求解器res = X\b。由于参数变化，我必须在我的程序中使用它数百万次。这工作正常，因为我使用的是小尺寸（最多30）。现在我想要分析更大的系统，直到1000，线性求解器不再有效。
我认为可以解决这个问题。但是我必须说有时我的X矩阵是密集的，有时是稀疏的，所以我需要一些适用于这两种情况的东西。
b向量是一个全零的向量，除了一个始终为1的条目（实际上它始终是最后一个条目）。此外，我不需要所有res向量，只需要它的第一个条目。
答案 0 :(得分：4)
通常当人们谈论加速线性求解器res = X \ b时，它就是多个b。但是，由于您的b没有变化，并且您只是不断更改X，所以这些技巧都不适用。
从数学的角度来看，加快这一点的唯一方法似乎是确保Julia选择X \ b的最快解算器，即如果你知道X是正定的，使用Cholesky等Matlab’s flowcharts来获取用于X \ b的解算器，对于密集和稀疏X，它们是可用的 - 很可能Julia也实现了接近这些流程图的东西，但是再一次，也许你可以找到一些简化或快捷方式。
所有与编程相关的加速（多个线程 - 虽然每个单独的解算器可能已经是多线程的，但当每个解算器使用的线程少于核心时，可能值得并行运行多个求解器; @simd如果你是愿意深入研究解决方案; OpenCL / CUDA库等;然后可以应用。
答案 1 :(得分：4)
如果您的问题的格式为(A - µI)x = b，其中µ是变量参数且A，b已修复，则可以使用对角化。
设A = PDP°其中P°表示P的倒数。然后(PDP° - µI)x = b可以转换为
(D - µI)P°x = P°b,
P°x = P°b / (D - µI),
x = P(P°b / (D - µI)).
（/操作表示由标量Dr - µ划分各个向量元素。）
对角化A后，为任何µ计算解决方案会减少为两个矩阵/矢量积，或者如果您还可以预先计算P°b，则为单个积分。
数值不稳定性将显示在A的特征值附近。
答案 2 :(得分：0)
效率的最佳方法是使用：JuliaMath / IterativeSolvers.jl。对于A * x = b问题，我建议x = lsmr(A, b)。
第二个最佳替代方案是向编译器提供更多信息：如果Cholesky分解适合您，则执行x = inv(A'A) * A' * b而不是x = inv(cholfact(A'A)) A' * b。否则，您可以尝试U, S, Vt = svd(A)和x = Vt' * diagm(sqrt.(S)) * U' * b。
不确定x = pinv(A) * b是否已优化，但效率可能略高于x = A \ b。