获得具有最大平均距离的点子集

Question

我有N个点。我知道他们所有的成对距离。我需要从它们中选择K个点，这样平均成对距离将是最大的。 我只有虚拟的想法来遍历每个点。

您是否更明智地了解如何获得此类子集？

在没有任何假设的情况下解决这个问题会很好，但是如果它会有帮助：N大概是10 ^ 3-10 ^ 4，K大约10 ^ 2 的

我的虚拟想法 我从点＃1搜索最远的点开始，所以我有一个2点的大块，接下来我搜索第三个点，它与这两个点的平均距离最大，依此类推，直到我将收集K点。应对所有N点重复此过程作为起始值。最后，我将获得N个K点阵列。从中我可以选择平均距离最大的那个。

Answer 1

我不是100％肯定，但这听起来像NP-Hard问题。

作为近似值，您可以执行K-Median Clustering并返回生成的群集代表作为结果。聚类基本上尝试着 最小化属于同一群集的点的距离（对您来说并不重要），并最大化来自不同群集的点之间的距离（这就是您想要的）。

修改

我认为，想一想这一点，你会想要尝试在数据集的外部极限上搜索点，以便最大化平均成对距离。因此，您可以计算（凸）船体并从那里拾取点，也可以在选择点时重新计算船体。或者你可以从点（a）开始，从（a）中搜索最远点（b），然后从（b）中搜索最远点（c），依此类推（避免两次拾取点，也可以通过删除你挑选它们之后）。这将确保您在数据集的边界处拾取点。

Answer 2

这可以看作是具有N个顶点的完整图上最重k-子图问题的一个特例，其中权重满足三角不等式。

问题的一般情况是非多项式很难，我猜测上面的限制不足以使它成为多项式，尽管它们当然可以承认一些启发式。

对于近似解决方案，您是否评估过贪婪解决方案或贪婪随机采样方式？