我正在编写一些涉及查找给定矩阵的特征向量的代码，并且很惊讶Ruby在简单的情况下会产生一些不合理的结果。
例如，以下矩阵具有与特征值1相关联的特征向量：
> m = Matrix[[0r, 1/2r, 1/2r, 1/3r],
[0r, 0r, 1/4r, 1/3r],
[0r, 1/4r, 0r, 1/3r],
[1r, 1/4r, 1/4r, 0r]]
Ruby发现特征值足够好，但特征向量爆炸：
> m.eigen.eigenvalues[2]
=> 1.0000000000000009
m.eigen.eigenvectors[2]
=> Vector[5.957702309312754e+15, 5.957702309312748e+15, 5.957702309312743e+15, 5.957702309312753e+15]
实际的特征向量应该是（7,4,4,9）。
难道不是这个麻烦吗？如果Ruby无法处理微小的矩阵，那么我们怎么可以信任呢？或者我做错了什么？
答案 0 :(得分：0)
否，这并不麻烦。该矩阵可能不适用于特定的特征向量算法实现。毕竟Efficient and stable general eigenvector computation is nontrivial。
Matrix库是从JAMA, a Java matrix package改编而来的，它表示它执行的是numerical computation而不是symbolic computation：
未涵盖。 JAMA绝不是一个完整的线性代数环境……它专注于进行数值线性代数所需的原理数学功能
通过查看Matrix::EigenvalueDecomposition的源代码，我发现它命名了QR algorithm的用法。我不完全理解数学的复杂性，但我想我可能会理解为什么为什么会失败。计算机理如下：
在第k步（从k = 0开始），我们计算QR分解A k = Q k R k ...在某些条件下， [4] 矩阵A k 收敛到三角矩阵A的舒尔形式。三角矩阵的特征值列在对角线，并解决了特征值问题。
在“伪” Ruby中，这在概念上意味着：
working_matrix = orig_matrix.dup
all_q_matrices = []
loop do
q, r = working_matrix.qr_decomposition
all_q_matrices << q
next_matrix = r * q
break if difference_between(working_matrix, next_matrix) < accuracy_threshold
end
eigenvalues = working_matrix.diagonal_values
对于特征向量，它会继续：
在收敛时，AQ =QΛ，其中Λ是A收敛到的特征值的对角矩阵，其中Q是到达那里所需的所有正交相似性变换的合成。因此，Q的列就是特征向量。
在“伪” Ruby中，继续：
eigenvectors = all_q_matrices.inject(:*).columns
我们可以看到，进行了一次数值计算的迭代来计算近似特征值，并且作为副作用，收集了一堆近似Q矩阵。然后，将这些近似的Q矩阵组合在一起以形成特征向量。
近似值的复合可能是导致极为不准确的结果的原因。 Math StackExchange发生灾难性取消的示例显示了simple quadratic computation with 400% relative error。您也许可以想象，具有重复算术运算的迭代矩阵算法可能会变得更糟。
一粒盐
再说一次，我对算法的数学和实现都没有深刻的了解，所以我不确切地知道 计算的哪些部分导致了特定的85110032990182200％错误，但是希望您现在能理解它是怎么发生的。
答案 1 :(得分：-2)