优化问题 - 矢量映射

Question

A和B是一组N维向量（N=10），|B|>=|A|（|A|=10^2，|B|=10^5） 。相似性度量sim（a，b）是点积（必需）。任务如下：a A中的每个向量b在B中查找向量ss，使得所有对的相似度[a_1,b_1]之和最大。< / p>

我的第一次尝试是贪心算法：

1. 找到具有最高相似度的对，并从A，B
中删除该对
2. 重复（1）直到A为空

但在这种情况下，这种贪心算法不是最理想的：

a_1=[1, 0]
a_2=[.5, .4]

b_1=[1, 1]
b_2=[.9, 0]

sim(a_1,b_1)=1
sim(a_1,b_2)=.9
sim(a_2,b_1)=.9
sim(a_2, b_2)=.45

算法返回[a_2, b_2]和ss=1.45，ss=1.8，但最佳解决方案会产生{{1}}。

有没有有效的算法来解决这个问题？感谢

Answer 1

这实际上是加权matching problem中的bipartite graph。假设权重函数f是点积（|ab|） 我不认为你的权重函数的特殊结构会大大简化问题，所以你很难找到最大匹配。

您可以找到针对此问题in this wikipedia article的一些基本算法。虽然乍一看它们似乎不适用于您的数据（V = 10^5，E = 10^7），但我仍会研究它们：其中一些可能会让您利用“跛脚”的一组顶点，其中一个数量级比另一个数量级小。

This article似乎也很相关，但没有列出任何算法。

不完全是一个解决方案，但希望它有所帮助。

Answer 2

我在这里第二个尼基塔，这是一个任务（或匹配）问题。我不确定这对您的问题在计算上是否可行，但您可以使用匈牙利语算法，也称为Munkres' assignment algorithm，其中分配(i,j)的成本是{{1}的点积的负数。 1}}和ai。除非您碰巧知道A和B的元素是如何形成的，否则我认为这是针对您的问题最有效的已知算法。