Question

我一直在研究Benjamin Pierce等人的第1卷，软件基础，我在IndProp一章中遇到了一些问题。不幸的是，我不知道有更好的地方可以问：任何人都有任何提示吗？

 Theorem leb_complete : forall n m,
   leb n m = true -> n <= m.
 Proof.
 (* FILL IN HERE *) Admitted.

Theorem leb_correct : forall n m,
   n <= m ->
   leb n m = true.
Proof.
(* FILL IN HERE *) Admitted.

这些是在线教科书中的练习;请不要提出解决方案。但是有一个起点可能会有所帮助。

Answer 1

ejgallego有它！ generalize dependent是你的朋友。

因此，在这种情况下，您需要为所有自然数证明一个属性[并且它不会从您的组合理论中得出，因为您只是定义对象]，因此感应通常是正确的工具。但请注意，你有两个数字，你会想要你的归纳假设，让我们说n足够通用以涵盖所有m！这是一个重要的步骤，Coq的感应策略实际上并不能很好地涵盖。 - ejgallego Dec 2 at 1:32

Answer 2

这是一个generalize dependent示例：

 Theorem leb_correct : forall n m,
  n <= m ->
  Nat.leb n  m = true.
Proof.
  intros.
  generalize dependent n.
  induction m.
  - intros.
    destruct n.
    + easy.
    + easy.
  - intros.
    destruct n.
    + easy.
    + apply IHm.
      apply (Sn_le_Sm__n_le_m _ _ H).
Qed.


Theorem Sn_le_Sm__n_le_m : forall n m,
  S n <= S m -> n <= m.
Proof.
  intros. inversion H.
    apply le_n.
    apply le_trans with (n := S n). apply n_le_Sn.
    apply H2.
Qed.

软件基础：证明leb_complete和leb_correct

2 个答案: