Question

我看过很多关于Isabelle的语法和证明策略的文档。然而，我几乎找不到它的基础。我有几个问题，如果有人能抽出时间回答我会非常感激：

为什么Isabelle / HOL不接受不终止的功能？许多其他语言（例如Haskell）都承认非终止函数。
Isabelle的元语言中有哪些符号？我读到在通用量化（/\）和暗示（==>）的元语言中有符号。但是，这些符号在对象级语言（∀和-->）中具有对应的符号。我知道-->是bool => bool => bool类型的对象级函数。但是，∀和how是如何定义的？它们是对象级布尔函数吗？如果是这样，它们是不可计算的（考虑无限域）。我注意到我能够在∀和ther中编写布尔函数，但它们不可计算。那么∀和what是什么？它们是对象级别的一部分吗？如果是这样，他们是如何定义的？
Isabelle定理是否只是布尔表达式？然后布尔是元语言的一部分吗？
据我所知，Isabelle是一种严格的编程语言。我怎样才能使用无限对象？比方说，无限列表。 Isabelle / HOL有可能吗？

很抱歉，如果这些问题非常基本。我似乎没有找到关于伊莎贝尔元理论的好教程。我很乐意，如果有人可以推荐我这些主题的好教程。

非常感谢。

Answer 1

1）您可以在Isabelle中定义非终止（即部分）功能（参见Function package manual (section 8)）。但是，部分函数更难以推理，因为无论何时您想使用其定义方程（psimps规则，它取代普通函数的simps规则），您必须证明函数首先终止于该特定输入。

一般而言，非定义和非终止等问题在逻辑中总是存在问题 - 例如，考虑函数'定义'f x = f x + 1。如果我们将此作为ℤ（整数）的等式，我们可以从两边减去f x并获得0 = 1。在Haskell中，这个问题通过说这不是ℤ上的等式，而是取决于ℤℤ∪（整数加底部）和非终止函数f评估为⊥和'''来解决'。 + 1 =⊥'，所以一切都很好。

但是，如果逻辑中的每个表达式都可能评估为⊥而不是“正确”值，则此逻辑中的推理将变得非常繁琐。这就是为什么Isabelle / HOL选择将自己局限于全部功能的原因;偏好之类的东西必须用undefined（这是一个你不知道的任意值）或选项类型之类的东西来模拟。

2）我不是Isabelle / Pure（元逻辑）的专家，但最重要的符号绝对是

⋀（通用元量词）
⟹（元蕴涵）
≡（元等式）
&&&（元结合，按⟹定义）
Pure.term，Pure.prop，Pure.type，Pure.dummy_pattern，Pure.sort_constraint，它们履行了我不太了解的某些内部内部功能。

您可以在第2.1节的Isabelle/Isar Reference Manual中找到相关信息，也可以在手册的其他地方找到更多信息。

其他所有内容（包括∀和∃，确实对布尔表达式进行操作）在对象逻辑（通常是HOL）中定义。您可以在~~/src/HOL/HOL.thy（其中~~表示Isabelle根目录）中找到定义，而不是公理化：

All_def:      "All P     ≡ (P = (λx. True))"
Ex_def:       "Ex P      ≡ ∀Q. (∀x. P x ⟶ Q) ⟶ Q"

另请注意，许多（如果不是大多数）Isabelle函数通常不可计算。 Isabelle是不一种编程语言，尽管它有一个代码生成器，允许将Isabelle函数导出为编程语言的代码，只要你能为所涉及的所有函数提供代码方程式。

3） Isabelle定理是一个包含大量信息的复杂数据类型（参见~~/src/Pure/thm.ML），但最重要的部分当然是命题。一个命题来自Isabelle / Pure，它实际上只有命题和功能。（以及itself和dummy，但您可以忽略这些。）

命题不布尔 - 事实上，甚至没有办法说明命题在Isabelle / Pure中不成立。

然后，HOL定义（或更确切地说是公理化）布尔，并且还将从布尔到命题的强制公理化：Trueprop :: bool ⇒ prop

4）Isabelle 不是一种编程语言，除此之外，总体并不意味着你必须将自己局限于有限结构。即使在完整的编程语言中，您也可以拥有无限的列表。（参见Idris的codata）

Isabelle是一个定理证明者，从逻辑上讲，无限的物体可以通过对它们进行公理化来处理，然后使用你所拥有的公理和规则对它们进行推理。

例如，HOL假定存在无限类型并定义其上的自然数。这已经允许您访问函数nat ⇒ 'a，这些函数本质上是无限列表。

您还可以使用基于有界自然仿函数的(co-)datatype package将无限列表和其他无限数据结构定义为codatatype。

Answer 2

让我在你的两个问题上加上一些观点。

1）为什么Isabelle / HOL不接受不终止的功能？许多其他语言（如Haskell）都承认非终止函数。

简而言之：Isabelle / HOL不需要终止，但 totality （即，函数的每个输入都有特定的结果）。总体并不意味着函数在转录为（功能）编程语言时实际上终止，或者甚至根本不可计算。

因此，谈论终止有点误导，即使Isabelle / HOL的功能包使用关键字termination来证明某些属性这一事实令人鼓舞。 {1}}我将在下面再多说一点。

一方面，术语＆＃34;终止＆＃34;对更广泛的受众来说听起来可能更直观。另一方面，对P的更精确描述将是功能调用图的基础。

不要误解我的意思，P对于属性termination来说并不是一个糟糕的名字，甚至在函数包中实现的许多技术都是合理的。非常接近来自术语重写或函数式编程的终止技术（如大小变化原则，依赖对，词典顺序等）。

我只是说这可能会产生误导。为什么会出现这种情况的答案也涉及OP的问题4。

4）据我所知，Isabelle是一种严格的编程语言。我怎样才能使用无限对象？让我们说，无限列表。 Isabelle / HOL有可能吗？

Isabelle / HOL 是不一种编程语言，它特别不有任何评估策略（我们也可以说：它有你喜欢的任何评估策略）。

这就是为什么终止这个词有误导性的原因（鼓点）：如果没有评估策略，我们终止了一个函数P，人们可能会期待{{1} }终止独立于使用的策略。但这种情况并非如此。 f的{{1}}证明确保f定义明确。即使termination是可计算的，function的证明仅仅确保存在f终止的评估策略。

（顺便说一下：我所说的＆＃34;策略＆＃34;在这里，通常受到Isabelle / HOL中所谓的 cong -rules（即同余规则）的影响。）< / p>

作为一个例子，证明函数（参见函数包文档中的第10.1节同余规则和评估顺序）是微不足道的：

在添加cong-rule后终止（在P定义的意义上）：

这基本上表明逻辑 - 或应该＆＃34;评估＆＃34;从右到左。但是，如果您编写相同的功能，例如在OCaml中，它会导致堆栈溢出...

Answer 3

编辑：这个答案并不正确，请查看下面的Lars评论。

不幸的是我没有足够的声誉将此作为评论发布，所以这是我的回答（请记住我不是Isabelle的专家，但我也有过类似的问题）：

1）想法是证明关于已定义函数的陈述。我不确定你对可计算性理论有多熟悉，但想想停止问题和最不可靠性问题源于它的事实（如接受问题）。想象一下定义一个你无法证明它终止的函数。那么当你给出输入“ABC”并且它没有进入无限循环时你怎么能证明它返回数字42？

相反，如果你限制自己终止功能，你可以更多地了解它们，基本上做出权衡（或者至少这是我看到的）。

这些想法源于建构主义和直觉主义，我建议你查看Robert Harper非常有趣的系列讲座：https://www.youtube.com/watch?v=9SnefrwBIDc&list=PLGCr8P_YncjXRzdGq2SjKv5F2J8HUFeqN关于类型论

你应特别查看关于缺少中间排除法的部分：http://youtu.be/3JHTb6b1to8?t=15m34s

2）见曼努埃尔的答案。

3,4）再次看Manuel的回答牢记直觉逻辑：“基本实体不是布尔，而是证明某事是真的”。

对我来说，花了很长时间才适应这种思维方式，我仍然不确定我理解它。我认为关键在于理解它是一种或多或少完全不同的思维方式。

Isabelle / HOL基金会

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