Question

Lapack，很可能，没有任何计算行列式的例行程序。但是我们可以使用LU，QR或SVD分解来计算它。我更喜欢使用LU分解。现在，lapack使用一些dgetrf子程序将矩阵A分解成具有一些IPIV数组的PLU格式。我不知道如何处理这些信息。为了计算行列式，我只是乘以U矩阵的对角元素。但PLU格式的L和U是什么以及如何提取它们。我在C编程。

Answer 1

Lapack的dgetrf()计算一般M-by-N矩阵A的A=P*L*U分解。假设一个可逆方阵A，其行列式可以作为乘积计算：

U是一个上三角矩阵。因此，它的行列式是对角元素的乘积，它恰好是输出A的对角元素。确实，请参阅how the output A is defined：

退出时，因子化A = P*L*U中的因子L和U; L的单位对角元素不存储。
L是一个下三角矩阵，其中包含未存储的单位对角线元素。因此，它的决定因素总是1。
P是一个置换矩阵，编码为转置的乘积（即2个周期或交换）。确实，请参阅dgetri()以了解它是如何使用的。因此，其决定因素是1或-1，这取决于转置的数量是偶数还是奇数。因此，P的行列式可以计算为：
```
int j;
double detp=1.;
for( j=0;j<n;j++){
    if(j+1!=ipiv[j]){
        // j+1 : following feedback of ead : ipiv is from Fortran, hence starts at 1.
        // hey ! This is a transpose !
        detp=-detp;
    }
}
```

这种方法的复杂性主要是使用部分旋转的高斯消除的成本，即O（2 / 3n ^ 3）。

您可能会使用dgetc2()或QR分解转为完全旋转，以提高准确性。由潘等人在Algebraic and Numerical Techniques for the Computation of Matrix Determinants中发出信号。等，结合方程4.8,4.9和命题4.1，决定因素的最终误差可能是ed=(a+eps*a*n^4)^{n-1}*eps*an^5=a^n*(1+eps*n^4)^{n-1}*n^5*eps的标度，其中eps是双精度（约1e-13），a是最大的矩阵A和n中的所有元素都是矩阵的大小。这意味着计算的行列式对于“大”矩阵不是很重要：见表，特别是使用PLU分解时的相对误差！本文还提供了一种跟踪误差传播并产生更好的误差估计的算法。

您也可以尝试Faddeev–Le Verrier algorithm ...

Answer 2

L是单位对角矩阵，因此其行列式始终为1。对于P，它可以是1或-1，具体取决于排列的奇数/偶数，但ipiv是交换数组而非排列数组，因此您可以转换以下简单Python循环到C

det = 1

for i in range(len(ipiv)):
    det *= u(i,i)
    if ipiv[i] != i:
        det *= -1

但请注意，如果矩阵的条件在条件方面存在问题，则乘法可以上溢或下溢。而只是使用SVD。

从lapack

2 个答案: