LU分解N ^ 3

Question

假设我有一个正方形NXN对称实矩阵A，并且我想计算A的LU分解。复杂度是多少（例如O（N ^ 2），O（N ^ 3）等...... ）执行此操作的最佳算法

• 如果A是密集矩阵
• 如果A是稀疏矩阵？

Answer 1

Wikipedia声称如下：

  

如果n阶的两个矩阵可以在时间M（n）中相乘，其中   对于某些a> 2，M（n）≥na，则可以计算LU分解   时间O（M（n））。这意味着，例如，O（n ^ 2.376）算法   基于Coppersmith-Winograd算法存在。

对于稀疏矩阵，没有单一的答案。这取决于稀疏性的性质。

Answer 2

我会说稀疏矩阵乘法与密集的顺序相同，因为（1）这些阶数度量仅适用于数据太大以至于阶数效应占主导地位的情况，以及（2）稀疏度最多会减少计算量通过与大小N无关的线性因子，因此随着N的增长，但稀疏性保持不变，计算应该再次增加为O（N ^ 3）。与往常一样，在现实世界中，您的数据大小可能不足以支持性能（顺序）的这一方面，并​​且使用缓存和优化内核将更加重要。