Question

这是我的问题的伪代码。

我有一组 IEEE 754 双精度正数。

数组可以按随机顺序排列，但数字总是相同的，只是在它们的位置上乱码。此类数字在double表示的有效IEEE范围内可以在很宽的范围内变化。

获得列表后，我会初始化一个变量：

double sum_result = 0.0;

我在sum_result上累积总和，在整个数组的循环中。在每一步我都做：

sum_result += my_double_array[i]

是否保证，无论double的初始数组的顺序如何，如果数字相同，打印出的总和结果将始终相同？

Answer 1

没有

举一个简单的例子，将1加到0x1p53会产生0x1p53。（这使用十六进制浮点表示法。“p”之前的部分是有效数字，以十六进制表示，与C十六进制整数常量相同，除了它可能有一个“。”标记分数的开头“p”后面的数字表示有效数乘以2的幂。）这是因为数学上精确的和，0x1.00000000000008p + 53，不能用IEEE-754 64位二进制浮点表示，因此它的四舍五入到最接近的值，其有效位数为偶数位，即0x1p53。

因此，0x1p53 + 1产生0x1p53。所以0x1p53 + 1 + 1，从左到右计算，也产生0x1p53。但是，1 + 1是2，并且2 + 0x1p53可以准确表示，因为0x1.0000000000001p + 53，所以1 + 1 + 0x1p53是0x1.0000000000001p + 53。

为了以十进制显示更容易可视化的示例，假设我们只有两位小数。然后100 + 1产生100，所以100 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1产生100.但是1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 100累积到6 + 100然后产生110（由于四舍五入到两位有效数字）。

Answer 2

是否保证，无论初始数组double的顺序如何，如果数字相同，打印出的总和结果将始终相同？

不，FP添加不是associative。记住它被称为浮动点 - 绝对精度＆＃34;浮动＆＃34;约相对于1.0。任何给定的operation添加内容（+）都受round-off error的约束。

然而，如果总和完成并且不精确标志是明确的，那么是，订单不相关。**

简单的反例。

#include <math.h>
#include <float.h>
#include <fenv.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
  double a[3] = { DBL_MAX, -DBL_MAX, 1.0 };
  fexcept_t flag;

  feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);
  printf("%e\n", (a[0] + a[1]) + a[2]);
  fegetexceptflag(&flag, FE_INEXACT);
  printf("Inexact %d\n", !!(flag & FE_INEXACT));

  feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);
  printf("%e\n", a[0] + (a[1] + a[2]));
  fegetexceptflag(&flag, FE_INEXACT);
  printf("Inexact %d\n", !!(flag & FE_INEXACT));

  printf("%d\n", FLT_EVAL_METHOD);
  return (EXIT_SUCCESS);
}

输出

1.000000e+00  // Sum is exact
Inexact 0

0.000000e+00  // Sum is inexact
Inexact 1

0    // evaluate all operations ... just to the range and precision of the type;

根据FLT_EVAL_METHOD，FP数学可能会使用更宽的进动和范围，但上面的极端示例总和仍然会有所不同。

**除了可能是0.0 vs -0.0

的结果

要了解原因，请尝试使用4位精度的基于10的文本示例。同样的原则适用于double及其通常的53位精确二进制数字。

a[3] = +1.000e99, -1.000e99, 1.000
sum = a[0] + a[1]   // sum now exactly 0.0 
sum += a[2]         // sum now exactly 1.0 
// vs.
sum = a[1] + a[2]   // sum now inexactly -1.000e99
sum += a[0]         // sum now inexactly 0.0

Re：＆＃34;打印出的总和结果将始终相同＆＃34; ：除非代码打印的"%a"或"%.*e"具有更高的精度，否则打印的文本可能缺乏显着性，而两个不同的总和可能看起来相同。见Printf width specifier to maintain precision of floating-point value

Answer 3

让我们举一个例子：我使用基数为10的模型转换浮点问题，只有2位有效数字，操作结果四舍五入到最近。

假设我们必须总结3个数字9.9 + 8.4 + 1.4
确切的结果是19.7，但我们只有两位数，所以它应该舍入为20.

如果我们先对9.9 + 8.4求和，我们会得到18.3，然后四舍五入为18.
然后我们总结18. + 1.4我们将19.4四舍五入为19.。

如果我们首先对最后两个词8.4 + 1.4求和，我们得到9.8，则不需要舍入。
然后9.9 + 9.8我们将19.7四舍五入为20.，结果不同。

(9.9 + 8.4) + 1.4与9.9 + (8.4 + 1.4)不同，sum运算不是关联的，这是由于中间舍入。我们也可以用其他舍入模式展示类似的例子......

问题在基数2中与53位有效数字完全相同：无论基数或有效长度如何，中间舍入都将导致非关联性。

要消除这个问题，您可以对数字进行排序，使顺序总是相同，或者消除中间舍入并仅保留最后一个，例如使用超级累加器，例如https://arxiv.org/pdf/1505.05571.pdf
...或者只是接受一个近似的结果（由您来分析平均或更差的错误并决定是否可以接受......）。

随机排序的IEEE 754双精度浮点数之和的结果

3 个答案: