Question

我遇到了R的问题。

> as.complex(-1)^(1/3)
[1] 0.5+0.8660254i

这肯定是错误的，因为真实的部分是积极的。谁能告诉我原因和解决方案？

N.B。当我使用polyroot(c(1,0,0,1))时会发生类似的事情。

Answer 1

R正在给出正确的结果。在复平面中，-1有三个立方根。其中一个是-1（或复数表示法中的-1 + 0i），但另外两个是具有正实部的复数。例如：

[1] 0.5+0.8660254i

x1^3

[1] -1+0i

x1

这是有道理的，因为Arg(x1)的参数，即它与复平面中x轴的角度，是60度（运行Mod(x1)）及其模数，即距离从起源，是统一（运行x1）。因此，它会立即旋转-1+0i逆时针旋转120度，使其回到x1。

-1的另外两个立方根是通过围绕原点的x2 = -1 + 0i x3 = Conj(x1) = 0.5-0.8660254i的连续120度旋转找到的。他们是：

-1+0i

如果你将它们立方体化，你也会恢复geom_smooth。 -1的立方根是复杂平面中立方体的立方根的镜像（如果你在虚轴上反射）。

Answer 2

确定。我的回复中只是被打败了。反正。

因此，怀疑（0.5 + 0.8660254i）^ 3是-1。所以，检查极坐标表示的矢量长度：

> sqrt(0.5^2+0.8660254^2)
[1] 1

这听起来很正确，因为1 ^ 3仍然是极坐标中（-1 + 0i）矢量的长度。然后剩下的问题是（0.5 + 0.8660254i）的角度是否为60（π/ 3）度，使得当乘以3时它是（-1 + 0i）的180（pi）。 HM。

在https://www2.clarku.edu/~djoyce/complex/polar.html上生动地解释，实部和虚部是三角形的导管，角度计算为反正切：

> atan(0.8660254/0.5)/pi
[1] 0.3333333

由于乘以复数对它们的极坐标的角度求和，因此^ 3为pi的三分之一，然后加起来为半圆。

Answer 3

我怀疑R将z^a计算为exp(a * log(z))。

值exp(z)是为任何z唯一定义的，但有许多可能的值可供log(z)选择。我怀疑对于复数z = r * exp(i * theta) -pi < theta <= pi和r为正实数，R设为log(z) = log(r) + 1i * theta。

这会给(-1)^(1/3) = exp((1/3) * log(-1)) = exp(pi * 1i / 3) = 0.5+0.8660254i。

如果R为对数选择了不同的值，例如，如果它设置为log(-1) = 3 * pi * 1i，那么您将获得

(-1)^(1/3) = exp(3 * pi * 1i / 3) = -1,

你期待的答案。为什么R不给你这个价值？因为为了保持一致性，log(e^(theta * 1i))必须被1i * theta + 2 * pi * 1i定义为-pi < theta <= pi。