Question

我在今年10月开始获得生物信息学硕士学位，因为一位前生物学家从一段代码中发现一个递归方程非常困难。如果有人能向我解释这一点，我将非常感激。

如何从这段代码中找到递归方程？

procedure DC(n)
   if n<1 then return
   for i <- 1 to 8 do DC(n/2)
   for i <- 1 to n³ do dummy <- 0

我的猜测是T（n）= c + 8T（n / 2），因为第一个if条件需要恒定时间c而第一个for循环是从1到8执行的递归情况，因此8 * T（ n / 2），但我不知道如何将最后一行代码添加到我的等式中。

Answer 1

你很亲密，但事实并非如此。

通常，递归关系仅描述递归过程的递归步骤所完成的工作，因为假设基本情况执行了一定量的工作。你想看看

进行了什么递归调用以及它们的大小输入和
除此之外还做了多少工作。

您已正确识别出大小为n / 2的输入上有8个递归调用，因此8T（n / 2）项是正确的。但是，请注意，这是一个执行O（n ³）工作的循环。因此，您的递归函数可以更准确地建模为

T（n）= 8T（n / 2）+ O（n ³）。

然后值得一看，你是否可以争论为什么这种复发解决了O（n ³ log n）。

Answer 2

原来是T(n)= 8*T(n/2)+O(n^3)。

我会用迭代/递归树方法解决这个问题。

T(n) = 8* T(n/2) + O(n^3)
     ~ 8* T(n/2) + n^3
     = 8*(8* T(n/4) + (n/2)^3))+n^3
     = 8^2*T(n/4)+8*(n/2)^3+ n^3
     = 8^2*T(n/2^2)+n^3+n^3
     = 8^2( 8*T(n/8)+(n/4)^3)+n^3+n^3
     = 8^3*T(n/2^3)+ n^3 + n^3 + n^3
     ...
     = 8^k*T(n/2^k)+ n^3 + n^3 + n^3 + ...k time ...+n^3

这将在n/2^k=1 or k=log_2(n)。

时停止

因此复杂性为O(n^3log(n))

算法

2 个答案: