MathWorld page为e提供了一个简单的数字公式，据称对于前10 ^ 25位数字是正确的。它指出e大约是
(1 + 9^-4^(7*6))^3^2^85
任何想法如何检查这个公式是否正确，即使是前10位数？ 这是写右手边的另一种方式
Power[Plus[1, Power[9, Times[-1, Power[4, Times[7, 6]]]]], Power[3, Power[2, 85]]]
答案 0 :(得分：9)
这个问题根本不需要Mathematica。首先，很容易证明9^(4^(7*6))完全等于3^2^85，因为
9^(4^(7*6)) = 3^(2*4^(7*6)) = 3^(2^(1+2*(7*6))) = 3^2^85
然后，我们知道表示e的方法之一是作为限制
e = lim (1+1/n)^n, n->infinity
唯一的问题是n是非常大但有限的错误是什么。我们有
(1+1/n)^n = e^log((1+1/n)^n) = e^(n*log(1+1/n)) = e^(1-1/(2n)+O(1/n^2)) = e + O(1/n),
鉴于n = 3^2^85，我们接受log(10,n) = 2^85 log(10,3) ~ 1.85 *10^25，我们得到一个估计值
类似于引用的
答案 1 :(得分：1)
反复采用日志对于这类问题来说是一种很好的（通常）通用的解决方案。这是针对这个问题的一种更特殊的方法：回想起e = lim（n->无穷大，（1 + 1 / n）^ n）。所以我们需要的是9 ^（4 ^（42））（小数部分的分母）足够接近3 ^（2 ^ 85）和大。
在这种情况下，它们是相同的，所以我们有n = 3 ^（2 ^ 85），并且它将是对e的非常好的近似。这些都是大数字，但并非不可行：
>>> from mpmath import *
>>> iv.dps = 50 # let's use interval arithmetic, just for fun
>>> x = mpi(9)**(-(4**(42)))
>>> up = (mpi(3)**(2**85))
>>> x
mpi('1.4846305545498656772753385085652043615636250118238876e-18457734525360901453873570',
'1.4846305545498656772753385085652043615636250118238899e-18457734525360901453873570')
>>> 1/x
mpi('6.7356824695231749871315222528985858700759934154677854e+18457734525360901453873569',
'6.7356824695231749871315222528985858700759934154678156e+18457734525360901453873569')
>>> up
mpi('6.7356824695231749871315222528985858700759934154678005e+18457734525360901453873569',
'6.7356824695231749871315222528985858700759934154678156e+18457734525360901453873569')
>>> 0 in (1/x-up)
True
确定e上的确切误差范围是留给读者的练习;-) - 提示：比较mathworld页面声称的精确位数和上述数字，并问为什么会这样，思考近似系列（1 + 1/1）^ 1，（1 + 1/2）^ 2等