通过选择圆周上的点将圆分成碎片？

Question

在圆圈上， N 在其圆周上选择任意点。用这些 N 点形成的完整图表将圆圈的面积分成许多部分。

沿圆周选择圆点时，圆圈的最大区域数是多少？

示例：

• 2分=＆gt; 2件
• 4分=＆gt; 8件

任何想法如何解决这个问题？

Answer 1

这称为Moser's circle problem。

解决方案是：

即

证明非常简单：

考虑圆圈内的每个交叉点。它必须由两条线的交点定义，每条线有两个点，因此圆内的每个交点在圆周上定义了4组唯一的点。因此，最多有n choose 4个内顶点，显然圆周上有n个顶点。

现在，每个顶点接触多少条边？好吧，它是一个完整的图形，因此外部的每个顶点都会触及n - 1个边缘，当然内部的每个顶点都会触及4个边缘。所以边数由(n(n - 1) + 4(n choose 4))/2给出（我们除以2，否则每个边将被其两个顶点计数两次）。

最后一步是使用欧拉公式计算图表中的面数，即：v - e + f = 1（在我们的例子中Euler characteristic为1）。

求解f给出上面的公式： - ）