COQ和HOTT中等式定义的原因

Question

在HOTT和COQ中，人们无法证明UIP，即 \ Prod_ {p：a = a} p = refl a

但有人可以证明：
\ Prod_ {p：a = a}（a，p）=（a，refl a）

为什么定义它是这样的？ 是吗，因为人们希望有一个很好的同伦解释？ 或者这个定义有一些自然的，更深层次的原因吗？

Answer 1

今天我们知道拒绝UIP的一个很好的理由：它与同伦类型理论的单一性原理不相容，后者粗略地说可以识别出同构类型。然而，据我所知，Coq平等不能验证UIP的原因主要是遗传自其祖先之一的历史事故：Martin-Löf的内涵类型理论，它早于HoTT多年。

ITT中的平等行为最初是出于保持类型检查可判定性的愿望。这在ITT中是可行的，因为它要求我们明确标记证明中的每个重写步骤。 （形式上，这些重写步骤对应于在Coq中使用等式消除器eq_rect。相比之下，Martin-Löf设计了另一个称为扩展类型理论的系统，其中重写是隐式：每当两个条款a和b相等，在我们可以证明a = b的意义上，它们可以互换使用。这依赖于相等反射规则，它表明命题相等的元素在定义上也是相等的。不幸的是，为这种便利付出了代价：类型检查变得不可判定。粗略地说，类型检查算法在很大程度上依赖于ITT的显式重写步骤来指导其计算，而ETT中缺少这些提示。

由于平等反映规则，我们可以在ETT中轻松证明UIP;然而，很长一段时间不知道UIP是否可以在ITT中证明。我们不得不等到90年代Hofmann and Streicher的工作，这表明UIP无法通过构建UIP无效的模型在ITT中得到证明。 （请查看霍夫曼的这些slides，从历史的角度解释这个问题。）

修改

这并不意味着UIP与可判定类型检查不兼容：后来证明它可以在Martin-Löf类型理论的其他可判断变体（例如Agda）中导出，并且可以安全地添加为像Coq这样的系统中的公理。

Answer 2

直观地说，我倾向于认为a = a为pi_1（A，a），即从a到自身模数同伦等价的路径类;而我认为{ x:A | a = x }是A的通用覆盖空间，即从模数同伦等价的一个到另一个点的路径。因此，虽然pi_1（A，a）通常是非平凡的，但我们确实A的通用覆盖空间是可缩小的。