Question

我在Coq中寻找一个不同的平等证明的例子这意味着：
给出一些类型T和两个元素x，y：T和两个证明p1，p2：x = y，其中p1＆lt;＆gt; p2。

Answer 1

这是Coq中不完整性的典型例子。在其基本理论中（即，不假设任何其他公理），不可能证明或反驳以下陈述：

exists (T : Type) (x y : T) (p q : x = y), p <> q.

因此，我们通常不能在两点之间展示不同的平等证明。这在实践中意味着什么？如果你想按原样使用Coq的理论，你必须避免谈论平等证明之间的平等，因为我们无法用它们做任何非常有用的事情。唯一的例外是具有可判定平等的类型，我们可以证明forall x y : T, x = y \/ x <> y;在这些情况下，我们可以显示身份证明的单一性：

UIP : forall (x y : T) (p q : x = y), p = q.

如果我们愿意添加公理，那么故事就会改变。我们可以添加的一个公理是证明不相关，这是上面UIP原则的推广。它说

proof_irrelevance : forall (P : Prop) (p q : P), p = q.

Coq的理论旨在允许这样一个公理而不会产生矛盾，许多发展都是这样做的。在这种情况下，UIP适用于所有类型，而不仅仅是那些具有可判定的相等性的类型。

另一方面，是我们可以添加的与UIP不兼容的有用公理。最着名的是来自Homotopy type theory的单一公理，它粗略地说明了所有类型A和B之间存在一对一的对应关系A = B和A之间的平等证明B和等价 - 即A -> B中具有双边反转的函数。这是一个简化版本，只是为了解释基本思想：

Record Equiv (A B : Type) : Type := {
  equiv_l : A -> B;
  equiv_r : B -> A;
  _ : forall x, equiv_l (equiv_r x) = x;
  _ : forall x, equiv_r (equiv_l x) = x
}.

Axiom univalence : forall A B, Equiv (A = B) (Equiv A B).

如果我们假设这个公理，我们可以证明，例如，bool = bool中有两个不同的相等证明：一个对应于身份函数，另一个对应于布尔否定：

Definition id_Equiv : Equiv bool bool.
Proof.
  apply (BuildEquiv _ _ (fun x => x) (fun x => x)); trivial.
Defined.

Definition negb_Equiv : Equiv bool bool.
Proof.
  apply (BuildEquiv _ _ negb negb); intros []; trivial.
Defined.

Lemma not_UIP : exists p q : bool = bool :> Type , p <> q.
Proof.
  exists (equiv_r _ _ (univalence bool bool) id_Equiv).
  exists (equiv_r _ _ (univalence bool bool) negb_Equiv).
  intros H.
  assert (H' : id_Equiv = negb_Equiv).
  { now rewrite <- (equiv_lr _ _ (univalence bool bool)), <- H,
                   (equiv_lr _ _ (univalence bool bool)). }
  assert (H'' : equiv_l _ _ id_Equiv true = equiv_l _ _ negb_Equiv true).
  { now rewrite H'. }
  simpl in H''. discriminate.
Qed.

请记住，单义的实际定义比我上面提到的更为复杂，我甚至都不确定。你不能只复制我上面提到的内容并希望它能顺利运作。有关实际定义，请参阅IsEquiv here和isequiv_equiv_path here。如果您想使用公理，最好使用在线提供的Homotopy类型理论库之一：HoTT和UniMath。请注意，第一个实际上是Coq。

的略微修改版本

不同等式证明的示例

1 个答案: