修正硬币变化的伪多项式时间算法

Question

在考虑硬币变化时我想到了以下问题，但我不知道有效（伪多项式时间）算法来解决它。我想知道是否有任何伪多项式时间解决方案，或者是否有一些我遗漏的经典文献。

硬币更改问题有一个众所周知的pseudo-polynomial time dynamic programming解决方案，它会询问以下内容：

您拥有个硬币，其的值为。存在多少个硬币子集，使得硬币值的总和为？

动态编程解决方案在中运行，是经典的。但是我对以下几点概括感兴趣：

如果硬币的值不再是，而是可以假设一组值，该怎么办？现在，问题是：存在多少个硬币子集，这样就存在硬币分配给值，使得这些硬币的值之和为？

（对于所有，经典的硬币更改问题实际上是的问题的一个实例，所以我不期望多项式时间解决方案。）

例如，给定和以及以下硬币：

1. 
2. 
3. 

然后，有个子集：

1. 仅使用硬币，将此硬币指定为值。
2. 仅使用硬币，将此硬币指定为值。
3. 获取硬币和，将其分配为值和，分别为 或 分别为和 - 这些被认为是相同的方式。
4. 获取硬币，和，并将其分配为值，和。< / LI>

   我遇到的问题恰恰是第三种情况;修改这个问题的经典动态编程解决方案很容易，但它会将这两个子集统一为不同，因为不同的值被分配，即使所用的硬币是相同的。

   到目前为止，我只能找到针对此问题的简单指数时间算法：考虑每个子集，并运行标准动态编程硬币更改算法（ ）检查这个硬币子集是否有效，给出时间算法。那不是我在这里寻找的;我正试图找到一个没有因子的解决方案。

   你能为我提供一个伪多项式时间算法来解决这个问题，还是可以证明不存在，除非P = NP？也就是说，这个问题是NP完全的（或类似的）。

Answer 1

也许这很难，但你问这个问题的方式似乎并非如此。

  

取硬币1和3，分别分别为7和3或6和4 - 这些被认为是相同的。

让我们用这种方式编码两个等价的解决方案：

1. （（1,3），（7,3））
2. （（1,3），（6,4））

现在，当我们记住一个解决方案时，我们不能只问这对中的第一个元素（1,3）是否已经解决了？然后我们将抑制计算（6,4）解决方案。