硬币变更制作算法

Question

对于每个i≥0，对于某些整数常数c> 1，硬币具有c ⁱ 的值。 1。 例如，如果c = 3，则您的硬币值为1（= 3 ⁰ ），3,9（= 3 ² ），27，......

您需要设计一种算法，给定整数值n，使用最少数量的硬币对n进行更改。您可以假设每个面额c ⁱ 的硬币数量不受限制，且c ⁱ ≤n。

我已经提出了贪心算法，但我坚持这个问题：

显示任何最优解最多只有c - 1个值为c ⁱ 的硬币，对于任何i。

我明白了，我知道它是如何运作的，但我不知道如何用语言表达/展示它。有人可以指点我正确的方向吗？

Answer 1

通常，贪婪算法可以证明是正确的，因为如果存在（据称）最优解决方案，其结构与您的算法产生的结果不同，您可以将其更改为您的算法产生的并显示结果是好的或更好。

在这种情况下：假设（出于矛盾的缘故）存在使用 c 或更多值为 c ⁱ 的硬币的最佳解决方案。那么，你怎么能以贪婪算法的方式改进这个解决方案（从而表明以不同方式做事的解决方案实际上并不是最优的？）