Question

考虑具有钢筋和孔的混凝土板元件的以下表示。

我需要一种能够自动将线条分布在具有不同孔的任意形状上的算法。

主要限制因素是：

行不能在该区域之外或在孔内
两个并排线之间的距离不能超过变量D
行必须以固定间隔I定位，即y mod I = 0，其中y是行的Y坐标。
形状内的每个可用点都不能比D/2

我想通过最小化行总数 N 来优化解决方案。什么样的优化算法适合这个问题？

我假设大多数方法都涉及将形状简化为光栅（像素高度 I ）并禁用或启用每个像素。我认为这是一个明显的LP问题，并试图用GLPK设置它，但发现使用这个简化的栅格来描述任意数量的线很难。我也怀疑解决方案空间可能太大。

我已经在C＃中实现了一个算法来完成这项工作，但并没有非常优化。这是它的工作原理：

创建几何的简化栅格
使用复杂的公式计算每个单元格的分数，该公式考虑了可能的线路长度和与其他杆和障碍物的距离。
确定哪些需要加固（y方向的自由单元数> D ）
选择需要加固的得分最高的单元格，并在-x和+ x方向尽可能加强
重复

根据复杂的公式，这可以很好地工作，但在放置最后几行时会开始给出不需要的结果，因为它永远不能移动已经放置的行。我还应该看看其他任何优化技术吗？

Answer 1

我不确定你想要的是什么 - 我相当确定它不是你的想法 - 但如果听起来合理，你可以尝试一下。

因为距离最多只是 d，并且可以是任何小于此值的东西，所以乍一看似乎贪婪的算法应该在这里起作用。始终放置下一行，以便（1）尽可能少，（2）它们尽可能远离现有的线。

假设您有一个针对此问题的最佳算法，并将下一行放在距离最后一行的距离a <= d处。说它放置b行。我们的贪婪算法肯定不会超过b行（因为第一个标准是尽可能少地放置），如果它放置b行，它会将它们放在距离c处使用a <= c <= d，因为它会尽可能地放置线条。

如果贪婪算法没有做到最佳算法所做的那样，那么它有以下几种方式的不同：

它将相同或更少的线放置得更远。假设最佳算法在下一步将b'行放置在距离a'处。然后这些行将在距离a+a'处，并且总共会有b+b'行。但是，在这种情况下，贪婪算法可以通过选择b'将a+a'行置于位移c' = (a+a') - c来模拟最优算法。由于c > a和a' < d，c' < d这是合法的展示位置。
它将更少的线放在一起。这种情况实际上是有问题的。这可能会导致k不必要的行，如果任何放置需要至少k行，而最远的行需要更多，并且选择孔的排列以便（例如）它跨越的距离是d的倍数。

因此，贪婪算法在案例2中不起作用。但是，在其他情况下也是如此。特别是，我们在第一种情况下的观察非常有用：对于任何两个展示位置(distance, lines)和(distance', lines')，如果是distance >= distance'和lines <= lines'，则首选展示位置始终是首选。这表明了以下算法：

PlaceLines(start, stop)

    // if we are close enough to the other edge,
    // don't place any more lines.
    if start + d >= stop then return ([], 0)

    // see how many lines we can place at distance
    // d from the last placed lines. no need to
    // ever place more lines than this
    nmax = min_lines_at_distance(start + d)

    // see how that selection pans out by recursively
    // seeing how line placement works after choosing
    // nmax lines at distance d from the last lines.
    optimal = PlaceLines(start + d, stop)
    optimal[0] = [d] . optimal[0]
    optimal[1] = nmax + optimal[1]

    // we only need to try fewer lines, never more
    for n = 1 to nmax do

        // find the max displacement a from the last placed
        // lines where we can place n lines.
        a = max_distance_for_lines(start, stop, n)

        if a is undefined then continue

        // see how that choice pans out by placing
        // the rest of the lines
        candidate = PlaceLines(start + a, stop)
        candidate[0] = [a] . candidate[0]
        candidate[1] = n + candidate[1]

        // replace the last best placement with the
        // one we just tried, if it turned out to be
        // better than the last
        if candidate[1] < optimal[1] then
            optimal = candidate

    // return the best placement we found
    return optimal

通过将结果(seq, lines)放入由(start, stop)索引的缓存中，可以通过 memoization 来改进这一点。这样，我们可以识别何时尝试计算可能已经过评估的分配。无论您是否对问题实例使用粗略或精细的离散化，我都希望我们能够解决这个问题。

我不会详细了解max_lines_at_distance和max_distance_for_lines函数的工作方式，但可能会对这些函数有所了解。

第一个告诉您在给定的位移处需要多少条线来跨越几何体。如果您的几何图形和彩色孔的像素是黑色的，那么这将意味着在指定的位移处查看单元格行，考虑连续的黑色线段，并从那里确定暗示了多少行。

对于给定的候选行数，第二个告诉您与当前位置的最大距离，可以放置该行数。您可以通过告诉您可以放置或更少行数的最大距离来改善这一点。如果您使用此改进，则可以反转您重复n的方向，并且：

如果f(start, stop, x) = a和y < x，您只需要从那时开始搜索a，而不是stop;
如果f(start, stop, x)未定义且y < x，则您不再需要搜索。

请注意，如果无法在n和start之间放置stop或更少的行，则可以取消定义此函数。

另请注意，您可以单独记忆这些功能以保存重复查找。您可以为每行预先计算max_lines_at_distance并将其存储在缓存中以供日后使用。然后，max_distance_for_lines可以是一个循环，在两个边界内检查缓存前面。

形状内分布线优化算法的选择

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