Question

序列 A = [a1，a2，...，an] 是一个谷序列，如果有一个索引 i < / b> 1＆lt;我＆lt; n 这样：

a1 > a2 > .... > ai

和

ai < ai+1 < .... < an.

给出一个谷序列必须包含至少三个元素。

我真正感到困惑的是，我们如何在 O（log n）中找到找到元素 ai 的算法，如上所述/ b> 时间？它是否类似于 O（log n） 二进制搜索？

如果我们有一个二进制搜索算法，在 O（log n） 时间内找到一个数组的元素，我们可以将运行时改进为 O（log log n） ？

Answer 1

要使用BIG-O（ logn ）算法，我们必须在恒定时间内将问题大小减少一半。

具体来说，在这个问题中，我们可以选择一个中点，并检查它的斜率是增加，减少还是减少。

如果斜率增加，可以忽略中点之后的部分
如果斜率下降，则可以忽略中点之前的部分
否则中点应该是底部，因此我们找到目标。

Java代码示例：

输入：[99,97,89,1,2,4,6]，输出：1

public int findBottomValley(int[] valleySequence) {
    int start = 0, end = valleySequence.length - 1, mid;

    while (start + 1 < end) {
        mid = start + (end - start) / 2;

        if (checkSlope(mid, valleySequence) < 0) {
            // case decreasing
            start = mid;
        } else if (checkSlope(mid, valleySequence) > 0) {            
            // case increasing
            end = mid;
        } else {
            // find our target
            return valleySequence[mid];
        }
    }

    // left over with two points
    if (valleySequence[start] < valleySequence[end]) {
        return valleySequence[start];
    }
    return valleySequence[end];
}

辅助函数checkSlope(index, list)将检查列表索引处的斜率，它将检查三个点，包括索引-1，索引和索引+ 1.如果斜率减小，则返回负数;如果斜率增加，则返回正数;如果index - 1和index + 1处的数字都大于index处的数字，则返回0;

注意：该算法假设：

该列表至少有三个项目
相邻元素的斜率不能平坦，其背后的原因是如果相邻的数字相等，那么我们无法确定底部的哪一侧。它可能出现在这样平坦的斜坡的左侧或右侧，因此我们将不得不进行线性搜索。

由于数组的随机访问已经是常数O（1），因此具有O（ logn ）访问时间可能对算法没有帮助。

Answer 2

有一种解决方案可以像二进制搜索一样工作。设置a = 2并且b = n-1。在每个步骤，我们将仅需要考虑具有索引k的候选者使得a <= k <= b。计算m =（a + b）/ 2（整数除法，因此向下舍入），然后考虑索引m - 1，m和m + 1处的数组元素。如果这些元素正在减少，则设置a = m并继续搜索。如果这些元素增加，则设置b = m并继续搜索。如果这些元素形成一个谷序列，则返回m作为答案。如果b - a＆lt; 2，然后没有山谷。

由于我们每次都将搜索空间减半，因此复杂性是对数的。是的，我们访问三个元素并在每个阶段执行两次比较，但计算将显示仅影响常数因子。

请注意，这个答案取决于这些序列严格减少然后增加。如果连续元素可以重复，最好的解决方案在最坏的情况下是线性的。

刚看到第二部分。一般来说，没有，一种在对数时间内找到特定元素的方法 - 甚至是恒定时间 - 一般来说都是无用的。问题是我们真的没有任何有用的想法。如果所有元素的值的间距大于它们在数组中的间距 - 这不难排列 - 那么我就看不出你如何选择要搜索的内容。

在序列

2 个答案: