欧几里德图上的α路径

Question

考虑以下问题：

• 假设我们在平面中给出了G =（ V ， E ）Euclidean图，并且实数α> 1。为简单起见假设，只存在一条路径，其所有边缘的权重总和等于α。如果存在，给多项式决策器在 G 中报告这样的α路径。

  1. 尽管有这个问题有几个实验结果（启发式算法），我知道人们在运行时使用颜色编码给出了几种随机算法 O （2 .Poly（n））[Williams]和（（1.625） ^k .poly （ n ））[Abbasi et al。]等。对于图表未加权，非几何和整数的情况k 被认为是目标路径上的顶点数。问题是，是否有欧几里得或一般图的任何近似算法？ （我知道α或 k 可以很大以提取最长路径，但这里给出了最长路径的长度，并且可能不像最长路径问题那么难）。

  2. 我试图用欧几里德案例的初步解决方案，使用像quadtree这样的分层结构或者将每个子路径的长度分层次地存储到树的某个更高级别的节点中。在树中找到给出c.α-path或一些 c 的K = O （logφ）节点，可以告诉我们原始图上是否存在路径。谁能给我一些关于这种方法的反馈？或者我是否需要使用其他不同的数据结构？任何关于这个问题的评论都表示赞赏！