计算重复使用重复展开

Question

我试图计算T（n）= 2 T（n / 2）+ n（log n）^ 2。 在我得到的步骤之后：

=2^kT(n/2^k)+ nlog2 (n/2^(k-1))+ nlog2 (n/2^(k-2))+…+ n(log (n/2))^2 + n (log2 n)^2

当n = 2 ^ k时，我得到了：

但我不知道如何简化求和公式并得到Θ（）表示法。 任何人都可以帮忙吗？非常感谢

Answer 1

你的总和对我来说并不合适。让我们重新推导出来：

... m次迭代后。让我们假设停止条件是n = 1（不失一般性）：

...我们使用了两个对数规则。正如您所看到的，总和实际上是“自由指数”，而不是日志本身。使用以下整数幂和：

......我们得到：

要评估Θ符号，最高阶项是：

Answer 2

如果您已阅读Master theorem，则会发现您提出的问题实际上是2nd Master Theorem的情况（请参阅上面的链接）。

所以，这里a=2，b=2和f(n) = 0[n^(c_crit)(log n)^k]其中k=2和c称为c_crit = log a to base b = {{1} }。

因此，根据大师定理，1 = T(n) = 0[(n^c_crit)(log k)^(k+1)]