z3和浮点系数的解释

Question

我正在玩一个小的多目标整数规划问题：

在Z3中（使用Python绑定），我们可以非常优雅地说明这一点：

from z3 import *

x1,x2 = Ints('x1 x2')
z1,z2 = Reals('z1 z2')
opt = Optimize()
opt.set(priority='pareto')
opt.add(x1 >= 0, x2 >=0, x1 <= 2, x2 <= 2)
opt.add(x1 <= 2*x2)
# this version is ok: 
#    opt.add(z1 == x1 - 2*x2, z2 == -x1 + 3*x2)
# this truncates coefficients (round down to integer): 
#    opt.add(z1 == 0.5*x1 - 1.0*x2, z2 == -0.5*x1 + 1.5*x2)
# this one seems to work: 
#    opt.add(z1 == 0.5*ToReal(x1) - 1.0*ToReal(x2), z2 == -0.5*ToReal(x1) + 1.5*ToReal(x2))
opt.add(z1 == x1 - 2*x2, z2 == -x1 + 3*x2)
f1 = opt.maximize(z1)
f2 = opt.maximize(z2)
while opt.check() == sat:
    print(opt.model())

这正确解决并给出：

[x1 = 2, x2 = 1, z2 = 1, z1 = 0]
[x1 = 0, x2 = 2, z2 = 6, z1 = -4]
[x1 = 2, x2 = 2, z2 = 4, z1 = -2]
[x1 = 1, x2 = 1, z2 = 2, z1 = -1]
[x1 = 1, x2 = 2, z2 = 5, z1 = -3]

由于我的真实问题有目标的浮点系数，我将目标除以2：

opt.add(z1 == 0.5*x1 - 1.0*x2, z2 == -0.5*x1 + 1.5*x2)

该模型应为x变量提供相同的五种解决方案。但是，当我们运行它时，我们会看到一些错误的结果：

[x1 = 0, x2 = 0, z2 = 0, z1 = 0]
[x1 = 0, x2 = 2, z2 = 2, z1 = -2]
[x1 = 0, x2 = 1, z2 = 1, z1 = -1]

当我打印opt时，我可以看到出错的地方：

(assert (= z1 (to_real (- (* 0 x1) (* 1 x2)))))
(assert (= z2 (to_real (+ (* 0 x1) (* 1 x2)))))

系数被静默截断并转换为整数：0.5到达0，1.5变为1.

解决方法似乎是：

opt.add(z1 == 0.5*ToReal(x1) - 1.0*ToReal(x2), z2 == -0.5*ToReal(x1) + 1.5*ToReal(x2))

这将浮点系数转换为它们的合理等价物：

(assert (= z1 (- (* (/ 1.0 2.0) (to_real x1)) (* 1.0 (to_real x2)))))
(assert (= z2 (+ (* (- (/ 1.0 2.0)) (to_real x1)) (* (/ 3.0 2.0) (to_real x2)))))

现在0.5变为(/ 1.0 2.0)，1.5由(/ 3.0 2.0)表示。

我的问题是：

1. 此截断是“按设计”吗？
2. 我的解决方法是正确的方法吗？或者我应该完全避免浮点系数？
3. 打印的有理数(/ 1.0 2.0)似乎暗示仍有浮点数。这真的是(/ 1 2)吗？ （我认为这些实际上是重要的）。

Answer 1

我认为你基本上回答了自己的问题。底线是Python是一种无类型语言，因此当您将不同类型的操作数混合并匹配到算术运算符时，您将受到库的支配，因为它将为您“匹配”这些类型，并且这并不奇怪它在这里做错了。在SMT-Lib2或任何其他更强类型的绑定中，您将获得类型错误。

永远不要在算术中混合类型，并且始终是显式的。或者，更好的是，使用一个在其类型系统中强制执行此操作的接口，而不是隐式强制执行常量。所以，简短的回答是，是的;这是设计上的，但不是因为任何深层原因，而是Python绑定的行为方式。

这是一个更简单的演示：

>>> from z3 import *
>>> x = Int('x')
>>> y = Real('y')
>>> x*2.5
x*2
>>> y*2.5
y*5/2

因此，看起来一旦你有一个声明的变量，那么与它们交互的常量会自动强制转换为该变量的类型。但我根本不会指望这一点：当你在一个无类型的环境中工作时，最好总是明确的。