这应该很简单。我有一个函数f(x)，我想在MATLAB中为给定的f'(x)评估x。
我所有的搜索都提出了符号数学，这不是我需要的，我需要数字区分。
E.g。如果我定义：fx = inline('x.^2')
我想找f'(3)说6，我不想找2x
答案 0 :(得分：9)
如果您的功能已知两次可区分，请使用
f'(x) = (f(x + h) - f(x - h)) / 2h
这是h中的二阶精度。如果只有一次可区分，请使用
f'(x) = (f(x + h) - f(x)) / h (*)
这是h中的第一个订单。
这是理论。在实践中，事情非常棘手。我将采用第二个公式（第一个顺序），因为分析更简单。将第二个订单作为练习。
第一个观察是你必须确保（x + h） - x = h，否则会出现巨大错误。实际上，f（x + h）和f（x）彼此接近（比如2.0456和2.0467），当你减去它们时，你会失去很多重要的数字（这里是0.0011，有3位有效数字较少）比x）。因此，h上的任何错误都可能对结果产生巨大影响。
所以，第一步，修复一个候选人h（我会在一分钟内告诉你如何选择它），并以h为计算量h'=（x + h） - x。如果您使用的是C语言，则必须注意将h或x定义为易失性，以便不进行优化。
接下来，选择h。 （*）中的错误有两部分：截断错误和舍入错误。截断错误是因为公式不准确：
(f(x + h) - f(x)) / h = f'(x) + e1(h)
其中e1(h) = h / 2 * sup_{x in [0,h]} |f''(x)|。
舍入误差来自f（x + h）和f（x）彼此接近的事实。可以粗略估计为
e2(h) ~ epsilon_f |f(x) / h|
其中epsilon_f是f（x）（或f（x + h）的计算中的相对精度，它是接近的）。这必须从您的问题进行评估。对于简单函数，epsilon_f可以作为机器epsilon。对于更复杂的问题，它可能比数量级更糟糕。
所以你希望h最小化e1(h) + e2(h)。将所有内容整合在一起并优化h产生
h ~ sqrt(2 * epsilon_f * f / f'')
必须根据您的功能进行估算。你可以粗略估计一下。如有疑问，请使用h~sqrt（epsilon），其中epsilon =机器精度。对于h的最佳选择，导数已知的相对精度是sqrt（epsilon_f），即。有效数字的一半是正确的。
简而言之：太小了，h =＆gt;舍入误差，太大了，h =＆gt;截断错误。
对于二阶公式，相同的计算结果
h ~ (6 * epsilon_f / f''')^(1/3)
和导数的（epsilon_f）^（2/3）的分数精度（假设双精度，通常比一阶公式好一个或两个有效数字）。
如果这太不精确，可以随意提出更多方法，有很多技巧可以提高准确性。 Richardson推断是平滑函数的良好开端。但是这些方法通常会计算很多次，如果你的函数很复杂，这可能或不是你想要的。
如果你要在不同的点上多次使用数值导数，那么构造切比雪夫逼近就变得很有趣了。
答案 1 :(得分：7)
要获得数值差异（对称差异），请计算(f(x+dx)-f(x-dx))/(2*dx)
fx = @(x)x.^2;
fPrimeAt3 = (fx(3.1)-fx(2.9))/0.2;
或者，您可以创建函数值向量并应用DIFF，即
xValues = 2:0.1:4;
fValues = fx(xValues);
df = diff(fValues)./0.1;
请注意diff采用前向差异，并假设dx等于1.
但是，在您的情况下，最好将fx定义为polynomial，并评估函数的导数，而不是函数值。
答案 2 :(得分：6)
缺乏符号工具箱，没有什么可以阻止你使用Derivest，这是一种自动自适应数值微分的工具。
derivest(@sin,pi)
ans =
-1
对于你的例子，它做得非常好。实际上，它甚至可以估算得到的近似误差。
fx = inline('x.^2');
[fp,errest] = derivest(fx,3)
fp =
6
errest =
3.6308e-14
答案 3 :(得分：4)
您是否尝试diff（计算差异并近似导数），gradient或polyder（计算多项式的导数）函数？
您可以在MATLAB控制台上使用help <commandname>阅读有关这些功能的更多信息，或使用帮助菜单中的功能浏览器。
答案 4 :(得分：0)
对于分析形式的给定函数，您可以使用以下代码在所需的点评估导数：
syms x
df = diff(x^2);
df3 = subs(df, 'x', 3);
fprintf('f''(3)=%f\n', df3);
对于纯数值导数，使用Jonas和posdef已经给出的解决方案。