Question

来源：Facebook Hacker Cup Qualification Round 2011

双平方数是整数X，可以表示为两个正方形的总和。例如，10是双平方，因为10 = 3 ² + 1 ²。给定X，我们如何确定它可以写成两个方格之和的方式？例如，10只能写为3 ² + 1 ²（我们不算1 ² + 3 ^{2 < / sup>作为不同的）。另一方面，25可写为5 ² + 0 ²或4 ² + 3 ²}

你需要解决这个问题，因为0≤X≤2,147,483,647。

示例：

10 =＆gt; 1
25 =＆gt; 2
3 =＆gt; 0
0 =＆gt; 1
1 =＆gt; 1

Answer 1

将数字n计算，并检查它是否具有奇数估值的素数因子p，使得p = 3（mod 4）。当且仅当n不是两个正方形的总和时才会这样做。

解决方案的数量具有封闭形式表达式，涉及n的除数。请参阅this, Theorem 3以获取准确的陈述。

Answer 2

以下是O(sqrt(n))复杂性

中的简单答案

x^2 + y^2 = n
x^2 = n-y^2 
x = sqrt(n - y^2)

x应该是整数，因此(n-y^2)应该是完美的正方形。循环到y=[0, sqrt(n)]并检查(n-y^2)是否为完美正方形

伪代码：

count = 0;
for y in range(0, sqrt(n))
    if( isPerfectSquare(n - y^2))
         count++
return count/2

Answer 3

这是一个更简单的解决方案：

create list of squares in the given range (that's 46340 values for the example given)

for each square value x
  if list contains a value y such that x + y = target value (i.e. does [target - x] exist in list)
    output √x, √y as solution (roots can be stored in a std::map lookup created in the first step)

Answer 4

考虑到X上的约束，遍历所有对（a，b）是不可行的。虽然有更快的方法！

对于固定的a，我们可以计算出b：b =√（X - a ²）。 b虽然不会总是一个整数，所以我们必须检查一下。由于精度问题，请以小容差执行检查：如果b是x.99999，我们可以确定它是一个整数。因此，我们遍历a的所有可能值并计算b为整数的所有情况。我们需要注意不要重复计算，因此我们将约束放在＆lt; = b。对于X = a ² + b ²，在此约束条件下，a最多为√（X / 2）。

以下是C ++中此算法的实现：

int count = 0;
// add EPS to avoid flooring x.99999 to x
for (int a = 0; a <= sqrt(X/2) + EPS; a++) {
    int b2 = X - a*a; // b^2
    int b = (int) (sqrt(b2) + EPS);
    if (abs(b - sqrt(b2)) < EPS) // check b is an integer
        count++;
}
cout << count << endl;

See it on ideone with sample input

Answer 5

这是一个简单的O（sqrt（N））版本，避免了所有循环内部分支。

首先生成所有直到极限的方块，轻松完成而不进行任何乘法，然后初始化l和r索引。

在每次迭代中，您计算总和，然后根据与目标值的比较更新两个指数和计数。这是sqrt（N）次迭代，用于生成搜索循环的表和最大sqrt（N）次迭代。使用合理的编译器估计的运行时间是每平方（N）最多10个时钟周期，因此对于最大输入值，如果2 ^ 31（sqrt（N）〜= 46341），这应该对应于少于500K个时钟周期或十分之几第二个：

unsigned countPairs(unsigned n)
{
    unsigned sq = 0, i;
    unsigned square[65536];

    for (i = 0; sq <= n; i++) {
        square[i] = sq;
        sq += i+i+1;
    }

    unsigned l = 0, r = i-1, count = 0;

    do {
        unsigned sum = square[l] + square[r];
        l += sum <= n;       // Increment l if the sum is <= N
        count += sum == n;   // Increment the count if a match
        r -= sum >= n;       // Decrement r if the sum is >= N
    } while (l <= r);
    return count;
}

一个好的编译器可以注意到最后的三个比较都使用相同的操作数，因此它只需要一个CMP操作码，然后是三个不同的条件移动操作（CMOVcc）。

Answer 6

我很着急，所以使用Python 2.6使用相当强力的方法（非常类似于marcog）来解决它。

def is_perfect_square(x):
    rt = int(math.sqrt(x))
    return rt*rt == x

def double_sqaures(n):
    rng = int(math.sqrt(n))
    ways = 0
    for i in xrange(rng+1):
        if is_perfect_square(n - i*i):
            ways +=1
    if ways % 2 == 0:
        ways = ways // 2
    else:
        ways = ways // 2 + 1
    return ways

注意：当数字是完美的平方时，ways将是奇数。

Answer 7

的解（x，y）的数量

的x ^ 2 + Y ^ 2 = N

整数上的

正好是n一致到1 mod 4的除数的4倍。对于问题也存在类似的身份

x ^ 2 + 2y ^ 2 = n

和

x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2 = n。

双正方形：计算两个完美正方形之和的数字

7 个答案: