Question

我的算法教科书中有一个练习，我不太确定解决方案。我需要解释为什么这个解决方案：

function array_merge_sorted(array $foo, array $bar)
{
  $baz = array_merge($foo, $bar);
  $baz = array_unique($baz);
  sort($baz);

  return $baz;
}

合并两个数组并对它们进行排序并不是最有效的，我需要提供一个最优化的解决方案，并证明不能做更好的解决方案。

我的想法是使用一个O（n log n）的mergesort算法来合并和排序作为参数传递的两个数组。但是，我怎样才能证明这是最好的解决方案？

Answer 1

算法

正如您所说两个输入已经排序，您可以使用简单的拉链式方法。

每个输入数组都有一个指针，指向它的开头。然后比较两个元素，将较小的元素添加到结果中，并使用较小的元素推进数组的指针。然后重复该步骤，直到两个指针都到达结尾，并将所有元素添加到结果中。

您可以在Wikipedia#Merge algorithm找到此类算法的集合，目前显示的方法列为合并两个列表。

这是一些伪代码：

function Array<Element> mergeSorted(Array<Element> first, Array<Element> second) {
    Array<Element> result = new Array<Element>(first.length + second.length);
    int firstPointer = 0;
    int secondPointer = 0;

    while (firstPointer < first.length && secondPointer < first.length) {
        Element elementOfFirst = first.get(firstPointer);
        Element elementOfSecond = second.get(secondPointer);

        if (elementOfFirst < elementOfSecond) {
            result.add(elementOfFirst);
            firstPointer = firstPointer + 1;
        } else {
            result.add(elementOfSecond);
            secondPointer = secondPointer + 1;
        }
    }
}

证明

该算法显然适用于O(n)，其中n是结果列表的大小。或者更精确的是O(max(n, n') n是第一个列表的大小，第二个列表的n'（或O(n + n')是相同的集合。）

这显然也是最佳，因为在某些时候，您需要至少遍历所有元素一次，以便构建结果并知道最终排序。对于此问题，这会产生Omega(n)的下限，因此算法是最优的。

更正式的证明假设更好的任意算法A解决了问题没有看一下每个元素至少一次（或更准确地说，小于O(n)）。

我们将该算法不看的那个元素称为e。我们现在可以构造一个输入I，使得e具有一个值，该值满足其自己的数组中的顺序，但算法会在结果数组中将其置错。

我们能够为每个算法A执行此操作，并且由于A始终需要在所有可能的输入上正常工作，我们能够找到一个反例I，以便它失败了。

因此A 不存在，Omega(n)是该问题的下限。

为什么给定的算法更差

您的给定算法首先合并两个数组，这适用于O(n)，这很好。但之后它对阵列进行了排序。

排序（更精确：基于比较的排序）的下限为Omega(n log n)。这意味着每个这样的算法都不能比这更好。

因此，给定算法的总时间复杂度为O(n log n)（因为排序部分）。哪个比 O(n)更差，其他算法的复杂性以及最佳解决方案。

然而，为了超级正确，我们还需要争论 sort 方法是否真正产生了这种复杂性，因为它不会获得任意输入，但始终是的结果合并 -method。因此，特定排序方法可能特别适用于此类特定输入，最终会产生O(n)。

但我怀疑这是你工作的重点。

数组合并和排序复杂度计算

1 个答案:

算法

证明

为什么给定的算法更差