该for循环的时间复杂度：for（i = 2; i <N; i = i * i）？

Question

我们现在正在了解时间复杂度，我在这个例子中遇到了很多麻烦。

for (i = 2; i < n; i = i * i)
{
     ... do something ...
}

教授说它是O（sqrt（N）），但我不确定我是否相信。毕竟，如果N = 16，它只运行2次，而不是4运行？

我的解决方案： 2 ^（2k）= N，其中k是循环运行的次数。 删除常数因子，k运行log（N）次。 我在哪里错了？感谢您就此事提出任何建议。

Answer 1

你的教练是错的（至少，他们的束缚不紧）你是对的，我喜欢你做过的分析，但我认为你错了最后一步的结论。

您一路上看到了所有中介价值，真是太棒了。你纠正了j所采用的值序列是2,4,16,256等。如果我们将事物重写为2的幂，请注意序列采用值

  

2 ¹ ，2 ² ，2 ⁴ ，2 ⁸ ，......

更一般地说，在循环的k次迭代之后，j的值是2 ^{2 k} （而不是2 ^2k ，如你最初写的）。这意味着要确定循环迭代次数，您需要确定何时

  

2 ^{2 k} = n。

在这里，您必须使用两个对数来解决此问题：

  

2 ^{2 k} = n

     

2 ^k = lg n

     

k = lg lg n

因此循环的迭代次数 O（log log n），低于老师给你的O（√n）和你来的O（log n）用。

对于它的价值，you often see O(log log n) behavior when you repeatedly take square roots of a number（你可以在数字O（log log n）的平方根下降到常数之前），所以它不是非常令人惊讶的是，如果你反过来运行它并保持平方值，你会看到O（log log n）出现。

Answer 2

当你使用大O表示法时，你谈论的是当N进入无穷大时的行为。 N = 16不够大。

话虽如此，我认为你的教授是对的。对于循环

for (int i = 0; i*i < N; ++i) { ...}

的时间复杂度为O（sqrt（N））。

对于你的循环，你是对的，它应该是O（log（log（N）））因为循环运行时i = 2,4,16，...，2 ^ k，...其中2 ^ k＆gt; = N。