Kleene Star Undecidability

Question

我知道如果L是可判定的，我们可以通过构造图灵机来证明L *也是可判定的但是 我无法解决这个问题： 如果L是不可判定的，那么L *也是不可判定的。 这句话是真还是假？

Answer 1

这是错误的。让L成为任何不可判定的语言。将R定义为L，并将所有长度为1的字符串添加到其中（如果不是L的一部分）。根据定义，R包含字母表中长度为1的所有字符串。此外，由于L是不可判定的，因此必须是R（不可判断的语言和有限语言的联合也是不可判定的;请参阅注释及以下内容）。但是R *包含字母表上的所有字符串，一种可判定的语言（事实上，它是常规的）。为了清楚起见，我们只是展示了如何从任何不可判断的语言构建另一个语言，这是该声明的反例。

要看到不可判断的语言和有限语言的联合必须是不可判定的，假设L union R是可判定的，其中L是不可判定的并且R是有限的。也就是说，有一个TM决定了L union R中的隶属度。我们知道有一个TM决定L与R相交，因为如果R是有限的，那么它与其他任何东西的交集也是如此。但是L =（（L union R）setminus R）union（L与R相交）：

1. L union R是L或R中的所有内容
2. setminus R是L中不包含在R
中的所有内容
3. union（L与R相交）是L
中的所有内容

由于可设定的语言在集合差异和联合下被关闭，这意味着L必须是可判定的，这是一个矛盾。因此，对于不可判定的L和有限R，L union R无法判定。