T（sqrtn）+ 5的Big-O表示法

Question

我面临一个问题： T（N）= T（sqrt（N））+ 5.

我想知道我能以这种方式解决它吗？

T（N）= O（sqrt（N））+ O（5）

由于O（5）= O（1）是常数，我们可以忽略它。

所以T（N）的大O符号是 O（N ^（1/2）） 。

或者我可以说它的符号是O（N），因为O（N）和O（sqrt（N））之间没有太大的区别。

谢谢！

Answer 1

（为了整洁，让我们用常数c替换5）

多次将此函数替换为自身，我们可以发现一种模式：

我们什么时候停止迭代？满足停止条件时。取此为n = 2（通常情况下不是1，因为参数是n = 1的渐近）：

所以这个函数的最终成本是：

请注意，常量c（= 5）与渐近复杂度无关。 （而且结果不仅仅是log n而是log log n）

编辑：如果您选择不同的停止条件n = a, a > 1，则上述步骤将变为：

仅与原始结果中的常量不同。

Answer 2

编辑：我在原始答案中犯了一个错误，假设 n 是 2 的力量，并将重复发生减少到 1,2,4， ... n，这是错误的。我为误导而道歉。这是更新后的答案。

来自，

  

T（n）= T（sqrt（n））+ 5，

我们也可以把它写成：

  

T（n）= T（n ^（1/2））+ 5，

然后重复：

  

T（n ^（1/2））= T（n ^（1/4））+ 5，

     

T（n ^（1/4））= T（n ^（1/8））+ 5，

     

...

     

T（n ^（2 ^ -m））= T（n ^（2 ^ - （m + 1））+ 5，

这并没有显示我们可以停止的常数。因此，我们需要替换 n 。

尝试：

  

n = 2 ^（2 ^ m），

我们在哪里

  

m = log log n

从 m = 0 开始， n = 2 ，

然后我们有：

  

T（n）= T（2）+ 5 + 5 + ... + 5，

有多少5？ 我们算这样：

  

2 ^（2 ^ 0），2 ^（2 ^ 1），2 ^（2 ^ 2），... 2 ^（2 ^ m）

所以 m 5s，其中 m = log log n 。所以

  

T（n）= T（2）+ 5 log log n，

是，

  

T（n）= O（log log n）。