优化Ruby中的利润

Question

我使用Ruby，但出于这个问题的目的，它并不重要。

假设我有两种不同的资源，其数量由a和b表示。我可以分配d个新资源，由于a和b具有相同的成本和相同的生产价值，我可以选择以最有利可图的方式分配资源。

最好这样解释：(a + j) * (b + k) = c，其中j + k = d。我希望通过最佳资源分配来最大化c，同时理解两种不同类型资源的成本及其对生产的价值是相同的。所有变量都是正整数，a和b大于0.这是我天真的暴力方法：

def max_alloc(a, b, d)
  max_j = 0
  max_k = 0
  max_c = 0
  (0..d).each do |j|
    k = d - j
    c = (a + j) * (b + k)
    if c > max_c
      max_c = c
      max_j = j
      max_k = k
    end
  end
  [max_j, max_k]
end

我希望有某种数学或算法＆＃34;技巧＆＃34;我不知道会让我不得不诉诸蛮力。

Answer 1

你真的需要一个算法吗？ 这是一个简单的最大/最小优化问题。

现在考虑等式

这是j的函数，所以我们称之为f(j)：

您希望找到j，c = f(j)最大...所以您想研究它的衍生标志

现在您可以绘制标志表

你有它！

的最大值

这意味着您正在寻找的j, k对是

对于此类值，您的最​​大值为c：

在Ruby中

def max_alloc(a, b, d)
    j = (-a + b + d) / 2.0
    j = j.round # round to prevent Float, explained at the end of this answer
    if j < 0
        j = 0 # prevent from negative values
    elsif j > d
        j = d # prevent from values greater than d
    end
    [j, d - j]
end

甚至更短

def max_alloc(a, b, d)
    j = ((-a + b + d) / 2.0).round
    j = [0, [j, d].min].max # make sure j is in range 0..d
    [j, d - j]
end

如果您愿意，也可以使用单行内容

def max_alloc(a, b, d)
    [[0, [((-a + b + d) / 2.0).round, d].min].max, d - [0, [((-a + b + d) / 2.0).round, d].min].max]
end

深入了解案例j < 0和j > d

让我们从j必须满足的界限开始：

所以j*是：

现在，由于f(j) 始终抛物线向下打开，绝对最大值将是它的顶点，因此，正如之前发现的那样：

但如果这一点超出j的给定范围怎么办？您必须决定选择j* = 0, k* = d或j* = d, k* = 0。

由于f(j)的{​​{1}}严格增加且j < j*严格减少，因此距您j > j*越近，j*值越大。

因此，如果f(j)选择j* > d，则选择j* = d，然后选择j* < 0。

在这里，我展示了一些情节，只是为了看到这一点：

为什么j = 0？

正如您刚才所了解的那样j.round是抛物线，而抛物线则具有对称轴。如果f(j)是一个整数，那么你就完成了，否则最大化的整数值是j*？嗯...对于最接近顶点的整数值;即，f(j)。

注意：如果j.round和a, b是整数，则d只能是整数或j*。因此xxx.5和f(j) j.ceil是相同的......您可以选择。

Answer 2

对于给定的常量a和b，请

f(j,k) = (a + j) * (b + k)

我们希望最大化f(j,k)符合三项要求：

• j + k = d，对于给定的常量d
• j >= 0
• k >= 0

我们可以替换k（或j）来替换k

k = d - j

这会将f更改为：

f(j) = (a + j) * (b + d - j)
     = a*(b + d) + (b + d - a)*j -j**2

现在的问题是f最大化：

0 <= j <= d

这种不平等的第二部分来自k = d - j >= 0。如果d = 0，j = k = 0是满足变量非负的要求的唯一解决方案。如果d < 0没有可行的解决方案。应该检查这两种情况，但我会假设d > 0。

我们首先将f的导数设置为零并求解j以确定f的斜率为零的位置：

f'(j) = b + d - a - 2*j = 0

所以

j* = (b + d - a)/2

由于f的二阶导数是

f''(j) = -2 < 0

我们知道f是凹的，所以j*是最大值（而不是凸起的最小值）。凸和凹函数在这里显示 ¹ ：

考虑凹函数的图形。 j的值在横轴上。由于j*必须在0和d之间才可行（两个变量都具有非负值），所以请点a，c和{{图表上的1}}分别等于b，0和j*。

有三种可能性：

• d，在这种情况下，这是一个可行的解决方案（从0 <= j* <= d开始）。
• k = d - j* >= 0，在这种情况下，j* < 0的最大可行值是f。
• j = 0，在这种情况下，j* > d的最大可行值是f。

确定j = d的最佳值后，j

以下是一些例子。

实施例。 1：k = d - j，a = 2，b = 3

d = 5

由于j* = (b + d - a)/2 = (3 + 5 - 2)/2 = 3 ，0 <= 3 <= 5，j = 3是k = 5 - 3 = 2和j的最佳值，k是最佳值。

实施例。 2：f(3) = 25，a = 6，b = 1

d = 3

由于j* = (b + d - a)/2 = (1 + 3 - 6)/2 = -1 ，-1 < 0，j = 0是k = 3 - 0 = 3和j的最佳值，k是最佳值。

实施例。 3：f(0) = 24，a = 2，b = 7

d = 3

由于j* = (b + d - a)/2 = (7 + 3 - 2)/2 = 4 ，4 < 3，j = 3是k = 3 - 3 = 0的最佳值，j是最佳值。

如果f(3) = 35和j必须是k的最大值的整数值，我们可以假设f，a和{{1}是整数值。 （如果b和d不是，a可以向上舍入并b向下舍入。）现在让a成为b的值} j*满足j是最大值（但0 <= j <= d不一定是整数）。由于f(j)是凹的，如果j*不是整数，f的最佳值为j*，如果j，则J*.floor。{/ {} p>

^{1对于所有f(j*.floor) >= f(j*.ceil)和j*.ceil，f以及所有a，b，函数a < b是凹的}，x，其中a <= x <= b是具有f(x) >= g(x)和g属性的线性函数。}