beta减少类型

Question

将(+)运算符转换为lambda演算时，它看起来像：

λx.λy.x + y

然后进行β降低

(λx.λy.x + y) 1 --substitute x through 1
(λy.1 + y)      
(λy.1 + y)    2 --substitute y through 2
1 + 2
3               --is the normal form 

现在，我有一个带有以下类型签名的函数：

f :: (t1 -> t) -> t1 -> t

我的问题是：

• 我可以将函数f的类型签名转换为lambda 微积分（就像我翻译上面的+运算符）？

• 我也可以为类型应用beta减少原则（知道类型
  取代）？

使用类型替换，我的意思如下：

*Twinplicative> :t id (+)
id (+) :: Num a => a -> a -> a

我确实将id的第一个参数（称为a）替换为(+)运算符的类型签名，然后它变为Num a => a -> a -> a

Answer 1

您可以使用与在lambda演算中使用值相同的方式使用函数。您使用(+)的示例如下所示：

(λf. λx. λy. f x y) (+) 1 2
~> (λx. λy. (+) x y)  1 2
~> (λy. (+) 1 y) 2
~> ((+) 1 2)
~> 1 + 2
~> 3

您可以替换已知类型，但要确保正确性，您必须运行该函数并查看类型是否匹配。

但是，在纯lambda演算中，您无法对类型签名进行编码，这是System F或Hindley-Milner type system的用途。这允许类型注释，如果一切都匹配，您可以使用类型推断算法检查编译时间。它通过强制类型替换缩小了β减少的规则。

可以找到类型推断算法的更完整的介绍和示例代码here。